優(yōu)化建模軟件在運籌學(xué)教學(xué)中應(yīng)用

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摘要：運籌學(xué)是一本應(yīng)用性很強，與實踐結(jié)合很緊密的課程。本文分析了運籌學(xué)（整數(shù)規(guī)劃）教學(xué)存在的不足，簡要介紹了幾種常用的優(yōu)化建模軟件，通過幾個典型示例，分別闡述了EXCEL規(guī)劃求解工具、LINGO、MATLAB等優(yōu)化軟件在運籌學(xué)（整數(shù)規(guī)劃）教學(xué)中的應(yīng)用。通過引入優(yōu)化軟件，有助于提高學(xué)生的學(xué)習興趣，提高學(xué)生的動手實踐能力。

關(guān)鍵詞：運籌學(xué)；整數(shù)規(guī)劃；教學(xué)；EXCEL；LINGO；MATLAB

整數(shù)規(guī)劃是運籌學(xué)中的典型問題，應(yīng)用于解決生產(chǎn)實踐、經(jīng)濟管理、國防軍事領(lǐng)域的諸多問題，有著廣泛的應(yīng)用前景和重要意義。整數(shù)規(guī)劃問題大部分是線性的，傳統(tǒng)的線性規(guī)劃問題中，部分可行解或者最優(yōu)解可能是分數(shù)或小數(shù)，但是對于某些特定問題，常要求可行解、最優(yōu)解必須是整數(shù)(稱為整數(shù)解)。例如,所求的解是開設(shè)工廠的臺數(shù)、完成工作的人數(shù)或運送貨物的車數(shù)等，分數(shù)或小數(shù)解答就不滿足要求[1]。因此，需要在線性規(guī)劃模型中強制要求決策變量或部分決策變量為整數(shù)，即得到整數(shù)規(guī)劃(integerprogramming，IP)或者混合整數(shù)規(guī)劃(mixedintegerprogramming，MIP)模型[2]。針對整數(shù)規(guī)劃或混合整數(shù)規(guī)劃問題，學(xué)者們已提出了相應(yīng)的求解方法，例如分枝定界法、窮舉法、割平面算法等，但是算法普遍計算量大、步驟非常煩瑣，難以手工完成，需要借助計算機建模求解工具實現(xiàn)。因此，運籌學(xué)（整數(shù)規(guī)劃）教學(xué)中引入優(yōu)化建模工具的應(yīng)用，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，鼓勵學(xué)生解決實際問題，提高實踐能力具有重要意義[3]。

1整數(shù)規(guī)劃模型

整數(shù)規(guī)劃（混合整數(shù)規(guī)劃）要求所有變量（部分變量）取整數(shù)，其標準形式如下所示。其中，xi，i=1，...，s為整數(shù)變量，xj，j=s+1，...，n為實數(shù)變量，整數(shù)規(guī)劃問題可以是最小化問題，也可以是最大化問題。

2常用優(yōu)化建模軟件簡介

目前常用的優(yōu)化應(yīng)用軟件有LINGO、MATLAB、MATHEMATIC、CPLEX等，其中MATHEMATIC和CPLEX專業(yè)性太強，操作復(fù)雜，不便于在教學(xué)中使用。此外，EXCEL具有強大的數(shù)據(jù)處理功能，其規(guī)劃求解工具也可用于整數(shù)規(guī)劃問題的建模和求解，并且操作簡便，適合在課堂教學(xué)中使用。因此，本文主要介紹EXCEL、LINGO和MATLAB三類優(yōu)化建模軟件在整數(shù)規(guī)劃教學(xué)中的應(yīng)用。

2.1EXCEL規(guī)劃求解工具

如前所述，現(xiàn)實中整數(shù)規(guī)劃問題通常是線性問題，適合利用EXCEL強大的表格計算處理能力進行建模求解，因此人們開發(fā)了基于EXCEL的規(guī)劃求解工具。EXCEL規(guī)劃求解工具求解算法包括單純形法、非線性GRG算法和演化算法，整數(shù)規(guī)劃可采用非線性GRG算法求解，該方法由LeonLasdon和AIlanWaren共同開發(fā)[4]。規(guī)劃求解工具是EXCEL中的一個加載項，使用前需要加載，打開“工具／選項／加載項”菜單欄，在打開的“加載項”對話框中選中“規(guī)劃求解加載項”，點擊確定，就將“規(guī)劃求解”工具添加到“數(shù)據(jù)”菜單欄中了。

2.2LINGO

LINGO(LinearInteractiveandGeneralOptimizer)是一個交互式的優(yōu)化求解器，可以求解線性規(guī)劃問題，也可以求解非線性規(guī)劃規(guī)劃問題和非線性方程組。它最初是由美國芝加哥大學(xué)的LinusSchrage教授開發(fā)的，通過不斷完善和擴充，并成立了Lindo公司進行商業(yè)化運作[5]。其特色在于可以允許決策變量是整數(shù)（即可求解整數(shù)規(guī)劃），操作簡便，求解速度快。優(yōu)化軟件LINGO可以求解整數(shù)規(guī)劃活混合整數(shù)規(guī)劃問題，首先需要根據(jù)實際問題，建立問題一般數(shù)學(xué)模型；然后通過LINGO軟件編輯框，采用優(yōu)化建模語言對數(shù)學(xué)模型進行描述，使得計算機能夠理解，最后調(diào)用LINGO軟件后臺算法求解模型。2.3MATLABMATLAB是美國MathWorks公司推出的高性能數(shù)值計算和可視化軟件，主要功能包括數(shù)值分析、矩陣計算、信號處理、圖形顯示、算法開發(fā)和模擬仿真等，廣泛地應(yīng)用于數(shù)值計算、程序開發(fā)、數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)建模與仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化等領(lǐng)域，是一個功能強大的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件[6]。MATLAB還是一個開放的開發(fā)平臺，可以根據(jù)需求自己開發(fā)相應(yīng)的功能模塊，例如運籌優(yōu)化常用的YALMIP等[7]。由于具有強大的矩陣計算能力，MATLAB也可用于求解運籌學(xué)中的線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃問題。

3運籌學(xué)（整數(shù)規(guī)劃）教學(xué)存在的問題

目前，運籌學(xué)（整數(shù)規(guī)劃）教學(xué)過程中存在一些問題，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳，主要表現(xiàn)在以下兩點：（1）運籌學(xué)被當作數(shù)學(xué)理論課程，重理論輕實踐運學(xué)學(xué)課程數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)理論較多，課程教學(xué)過程中存在大量的數(shù)學(xué)模型，以及相關(guān)數(shù)學(xué)定理的證明及推導(dǎo)，因此運籌學(xué)通常被學(xué)生們誤認為純數(shù)學(xué)理論課程。特別是整數(shù)規(guī)劃教學(xué)，涉及凸包理論、解空間分解、上下界證明、對偶理論等諸多相對深奧、復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論。如果不介紹相關(guān)數(shù)學(xué)理論，則導(dǎo)致學(xué)生理解不深入，只知其然不知其所以然，但是如果單純大量的理論學(xué)習，又可能使學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，降低學(xué)習興趣。因此，學(xué)習過程應(yīng)當理論指導(dǎo)實踐，加深理論基礎(chǔ)的同時，注重培養(yǎng)動手實踐能力。（2）整數(shù)規(guī)劃動手實踐能力，軟件應(yīng)用能力需要加強整數(shù)規(guī)劃通常屬于NP難問題，運算量大，求解過程極為復(fù)雜，即使簡單的小規(guī)模問題也很難通過手工計算求解，更不用說現(xiàn)實中復(fù)雜的大規(guī)模問題。因此，如果學(xué)生不能熟練使用優(yōu)化求解軟件，就不便于求解大規(guī)模問題，進而學(xué)生動手能力不足，學(xué)習興趣下降。

4優(yōu)化建模軟件應(yīng)用實例

4.1EXCEL規(guī)劃求解工具應(yīng)用實例

例1．某工廠計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及A、B兩種原材料的消耗，如表1所示[1]。該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅰ可獲利2元,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅱ可獲利3元,請問應(yīng)如何安排計劃使該工廠獲利最多?第一步，設(shè)生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1，x2，建立數(shù)學(xué)模型，如下所示：第三步，設(shè)置可變單元格和目標單元格，確定決策變量、目標函數(shù)和約束條件。設(shè)置可變單元格，表示決策變量，記錄問題的最優(yōu)解，令單元格B7和C7作為可變單元格(分別記錄變量x1，x2的值)。在可變單元格中輸入任意初值，此處都輸入0。設(shè)置目標單元格，記錄目標函數(shù)值，即當問題求解完成時，該單元格將顯示最優(yōu)的目標函數(shù)值。令D6作為目標單元格(記錄目標z的值)，輸入目標函數(shù)公式為D6=SUMPRODUCT(B6：C6，B7：C7)，其中SUMPRODUCT表示數(shù)組乘積之和，即D5=B6×B7+C6×C7。輸入約束條件。選定單元格D3、D4、D5分別表示問題的3個約束條件。利用數(shù)組乘積函數(shù)SUMPRODUCT，分別輸入第四步，設(shè)置規(guī)劃求解參數(shù)。單擊菜單欄“數(shù)據(jù)”中的“規(guī)劃求解”命令，彈出“規(guī)劃求解參數(shù)”對話框，在“設(shè)置目標”選項中輸入“$D$6”，“通過更改可變單元格”中輸入“$B$7:$C$7”，目標類型選擇最大值。設(shè)置需要遵守約束條件，單擊“添加”按鈕，出現(xiàn)“添加約束”對話框，“單元格引用”中輸入“$D$3:$D$5”，“約束”輸入“$F$3:$F$5”，符號選擇“”。本題要求變量為整數(shù)，需再輸入整數(shù)約束，“單元格引用”輸入$B$7$C$7，“約束”選擇“int整數(shù)”。如圖3所示。第五步，調(diào)用算法，計算得到規(guī)劃求解結(jié)果。完成求解參數(shù)設(shè)置后，選擇求解方法為“非線性GRG”，勾選“使無約束變量為非負數(shù)”，點擊“求解”，彈出規(guī)劃求解結(jié)果對話框，如圖4所示。點擊確定，就得到相應(yīng)的求解結(jié)果，如圖5所示。圖中的單元格B7和C7里的數(shù)據(jù)就是得到的最優(yōu)解。D6中的數(shù)據(jù)是z的最大值，即z=14元。

4.2LINGO應(yīng)用實例

例1．某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量、可獲利潤以及托運所受限制如表2所示。問兩種貨物各托運多少箱,可使獲得利潤為最大[1]?第一步，設(shè)x1，x2分別為甲、乙兩種貨物的托運箱數(shù)(非負整數(shù))，建立數(shù)學(xué)模型，如下所示：第三步，點擊LINGO界面的運行按鈕，就得到最優(yōu)值為90，其中x1=4,x2=1，如圖6所示。

4.3MATLAB應(yīng)用實例

以4.1節(jié)例1為例，介紹MATLAB如何求解整數(shù)規(guī)劃問題，首先建立問題數(shù)學(xué)模型，如4.1節(jié)所示，此處省略。然后，采用MATLAB腳本文件編制如下程序此處，需要注意的是MATLAB默認求解最小化問題，而本問題是最大化問題，需轉(zhuǎn)化為最小化問題，因此目標函數(shù)系數(shù)f為負數(shù)。程序編寫完成后，點擊運行，即可得到問題的解為x1=4，x2=2，目標函數(shù)為-14（真實目標為14）元。

5結(jié)語

運籌學(xué)是一門緊貼實際應(yīng)用的學(xué)科，運籌學(xué)教學(xué)不僅要向?qū)W生傳授理論知識，介紹模型和算法，也要培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力，指導(dǎo)學(xué)生運用運籌學(xué)知識解決實際問題。傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生普遍沉迷于數(shù)學(xué)推導(dǎo)和解題，動手實踐能力普遍不足。在教學(xué)過程中引入優(yōu)化建模軟件，能夠促進學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題，提高學(xué)生的學(xué)習興趣，實現(xiàn)更好的學(xué)習效果。

作者:王建江 杜振國 劉進 單位:國防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院 國防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院