投資學(xué)因子模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理淺析

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摘要：因子模型是投資科學(xué)中非常重要的一類模型，在金融界的應(yīng)用更是非常廣泛。然而，學(xué)術(shù)界對(duì)于因子模型統(tǒng)計(jì)原理的探究卻較為少見(jiàn)。基于此，本文詳細(xì)論述了投資學(xué)因子模型的構(gòu)建和統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析的范式，并創(chuàng)造性地探究了二者之間的關(guān)系，從而得出因子模型作為統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析特殊形式的結(jié)論，以期可以解決投資學(xué)因子模型在應(yīng)用時(shí)的一些難題。

關(guān)鍵詞：因子模型；正交因子分析；投資科學(xué)；股票收益率

一、引言

因子模型是投資學(xué)中最經(jīng)典的模型之一。自從1992年，F(xiàn)amaEF和FrenchKR提出三因子模型后，國(guó)內(nèi)外金融學(xué)界便掀起了挖掘市場(chǎng)因子的熱潮[1]。例如，因子模型被應(yīng)用到量化基金的投資實(shí)戰(zhàn)當(dāng)中，取得了不俗的歷史收益，使更多的市場(chǎng)投資者參與其中，以期獲得更高的收益，這次事件堪稱投資學(xué)界的“淘金熱”。雖然學(xué)界和商界對(duì)因子模型的研究熱情很高，但大多追求與收益相關(guān)的因子挖掘或者對(duì)固有因子有效性的檢驗(yàn)，很少有人對(duì)因子模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理進(jìn)行深入解析[2-5]?；诖?，本文將結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)上更為一般的正交因子模型探討投資學(xué)因子模型的原理，并一同探究其與CAPM模型和套利定價(jià)模型的關(guān)系。

二、文獻(xiàn)綜述

文中所引用之理論主要來(lái)源于兩個(gè)領(lǐng)域。一是統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析原理和實(shí)證應(yīng)用[6]。早在20世紀(jì)30年代，英國(guó)心理學(xué)家CESpearman就已提出因子分析的雛形，在后人整理發(fā)表的各種文獻(xiàn)中，這種方法被逐漸補(bǔ)充完整，并在心理學(xué)、營(yíng)銷學(xué)、社會(huì)學(xué)和金融學(xué)等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[7]。二是金融學(xué)投資科學(xué)領(lǐng)域因子模型的構(gòu)建、實(shí)證研究和業(yè)界應(yīng)用。這些研究大抵沿著FamaFrench的方法不斷地探求和拓展，只是稍有過(guò)當(dāng)之嫌[8]。但是，縱覽國(guó)內(nèi)外學(xué)者的文獻(xiàn)，很少有人將兩個(gè)領(lǐng)域結(jié)合研究，并清晰地解釋出兩者的聯(lián)系，本文期望在這方面有所突破。

三、投資學(xué)因子模型簡(jiǎn)介

首先，介紹主要的研究對(duì)象——因子模型。根據(jù)Z·Bodie的理論，股市中的單因子模型是為了應(yīng)對(duì)股票較多時(shí)，和應(yīng)用Markowitz組合理論協(xié)方差矩陣估計(jì)困難問(wèn)題而提出的[9]。它假定任何證券i的收益率總是可以分解為期望收益率和非期望部分（預(yù)料之外的因素）之和：Er=Eri+ei（1）其中，Eei=0，Dei=σi2，預(yù)料之外的因素又可以分為同時(shí)影響所有證券的宏觀因素m（如未預(yù)期的宏觀突發(fā)事件），以及只影響特定公司的特殊因素∈。于是，可以得到單因子模型基本形式：ri=Eri+m+∈i（2）對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)分解為σi2=σm2+σ2（∈i）?？紤]不同公司對(duì)宏觀因素m變化的敏感性不同（汽車制造比食品制造對(duì)經(jīng)濟(jì)周期更加敏感），記敏感性系數(shù)為βi（又稱“因子暴露度”），則ri=Eri+βim+∈i。如果收益率用超額收益Ri=ri+rf表示，等價(jià)于Ri=Eri+βim+∈i。于是，只需要m，βi，σm，σ（∈i）共2n+2個(gè)參數(shù)便可完成Markowitz分析，而不用去估計(jì)大小為n2的股票波動(dòng)率協(xié)方差矩陣∑，大大提高了模型效率。在日常應(yīng)用中，一般使用單因子模型的特殊形式——單指數(shù)模型[10]。單指數(shù)模型：由于宏觀因素m不易定義和觀測(cè)，所以需要尋找一個(gè)變量來(lái)代表（proxy）共同因素，當(dāng)使用股指收益率作為宏觀因素的代理指標(biāo)時(shí)，則稱為單指數(shù)模型Ri=Eri+βi（RM+ERM）+∈i。在實(shí)證研究中，使用時(shí)序回歸的方式確定單指數(shù)模型中的βi，構(gòu)造回歸方程Ri(t)=αi+βiRM(t)+ei(t)，并通過(guò)最小二乘法得到iβ∧，iα∧。之后兩邊對(duì)時(shí)間t取期望值得到Eri=αi+βiERM。然而，考慮到宏觀因素的多樣性。由于股指不能100%地反映所有宏觀因素的影響，所以單指數(shù)模型∈仍蘊(yùn)含宏觀信息，并且可以通過(guò)增加因子的方式增強(qiáng)解釋性（這在正交因子分析中就是增大總變量共同度）。如果我們選取m個(gè)宏觀因子，則可得到如下基本形式：Ri=ERi+∑mj=1βijFj+ei，其中，F(xiàn)j為m個(gè)不同宏觀因素的未預(yù)期值。這里的因子選擇是頗具藝術(shù)性的一步，常用的有國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GrossDomesticProduct，GDP）、國(guó)民生產(chǎn)總值（GrossNationalProduct，GNP）、消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（ConsumerPriceIndex，CPI）、失業(yè)率等。另外，其參數(shù)估計(jì)方式與單因子模型相似，應(yīng)用多元線性回歸最小二乘法估計(jì)，并假設(shè)因素之間不存在相關(guān)性，盡管此假設(shè)經(jīng)常受到質(zhì)疑，但仍是目前最常見(jiàn)的應(yīng)用方法。

四、統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析原理

介紹完多因子模型后，下面便可分析其統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。其實(shí)，因子模型本質(zhì)上都是統(tǒng)計(jì)學(xué)正交因子分析的特殊應(yīng)用，金融多因子模型也不例外。二者之間是特殊與一般的關(guān)系，因此，理解了正交因子分析，也就能夠深入理解金融多因子模型。設(shè)對(duì)某標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)向量Z=（Z1,Z2,Z3,…,Zn）T的研究需要得知其協(xié)方差矩陣∑，參數(shù)估計(jì)復(fù)雜度為O（n2），當(dāng)n很大時(shí)，則難以完成。若對(duì)每一個(gè)Zi，都能表示為m個(gè)隨機(jī)變量（m«n）的和：1112+iiiimmiZ=lF+lF+l…F+∈，則稱Fj（j=1,2,3,…,m）為Z的公共因子，∈j為特殊因子，系數(shù)lij為第i個(gè)變量在第j個(gè)因子上的因子載荷。矩陣形式記為Z=LF+∈。注意正交因子分析若要進(jìn)行下去，必須滿足的基本假設(shè)為類Gauss-Markov性：E（F）=0，Cov（F，F(xiàn)）=E（FFT）=I，E（∈）=0，Cov（∈，∈）=ψdiag（ψ2i），且F與∈獨(dú)立，即Cov（F，∈）=0。這是因?yàn)橹TFj是不可觀測(cè)的隨機(jī)變量，必須滿足上述假設(shè)，才能賦予一個(gè)可以驗(yàn)證的方差結(jié)構(gòu)。另外，不難看出，因子分析的目的與主成分分析法是類似的，主要在于將屬性進(jìn)行變量降維，并將協(xié)方差矩陣分解為低秩矩陣的和。它滿足以下幾個(gè)重要性質(zhì)：Σ=LLT+ψ,ρ(Z,F)=Cov(Z,F)=L,221()mijijiVarZϕ==∑l+，（i=1,2,3…n）。從上述三條性質(zhì)中可以看出總方差被成功分解為兩個(gè)部分。為了進(jìn)一步研究此方差結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，定義變量共同度為221mijijh==∑l，同行的和反映了所有公共因子對(duì)單個(gè)原始變量Zi方差的貢獻(xiàn)，即所選m個(gè)因子對(duì)原始變量的解釋能力，φ2i則稱為剩余方差。又定義方差貢獻(xiàn)221mjjijg==∑l，同一列的和則反映了單個(gè)公共因子Fj對(duì)所有原始變量方差的貢獻(xiàn)，即第j個(gè)因子的相對(duì)重要程度。有趣的是，在主成分因子分析法中，該值即特征值λ。在實(shí)際應(yīng)用中，尋找和確定因子是一件非常不容易的事，通常有兩種方法，其一是標(biāo)準(zhǔn)化的主成分法。主成分分解可表示為Y＝AZ，其中，Y=（Y1,Y2,Y3,…,YTK）為K個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)特征值為λ1,λ2,λ3,…,λk。由于A為正交關(guān)系，故Z=ATY，取前m個(gè)特征值放入特征向量，其余放入特殊因子∈中即得對(duì)應(yīng)形式。為了滿足假設(shè)，將Y標(biāo)準(zhǔn)化：即得jjjYFλ=，ijjjil=λα。此方法雖然有跡可循，但面臨問(wèn)題是仍不能確定因子的代表意義，需進(jìn)一步因子旋轉(zhuǎn)（由于與本文關(guān)系不大，此處略過(guò)）。其二是啟發(fā)法，直接猜想某個(gè)變量為因子，最著名的便是CAPM模型，猜想RM作為整個(gè)市場(chǎng)所有資產(chǎn)收益率的唯一公共因子。在啟發(fā)法下，因子載荷的估計(jì)可以用回歸法。由于啟發(fā)法猜想得到的m個(gè)因子可以直接觀測(cè)到，因此建立回歸方程Z=βF+∈，使用最小二乘法估計(jì)得到的系數(shù)矩陣β∧即為L(zhǎng)。啟發(fā)法相對(duì)主成分法走上另一個(gè)極端，它能夠直接確定因子的意義，卻需要令人驚嘆的直覺(jué)。

五、投資學(xué)因子模型與統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析的關(guān)系

根據(jù)上文的敘述，通過(guò)對(duì)比因子模型與統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析的原理不難發(fā)現(xiàn)，兩者之間是特殊與一般的關(guān)系。以經(jīng)典的FamaFrench三因子模型為例，本質(zhì)上三個(gè)因子市場(chǎng)收益率、市盈率、市凈率就是對(duì)宏觀因素的一個(gè)猜測(cè)，相當(dāng)于使用啟發(fā)法找出了三個(gè)因子，并在股票收益率面板數(shù)據(jù)上應(yīng)用兩步回歸法進(jìn)行因子估計(jì)。值得注意的是，為了應(yīng)對(duì)宏觀因子不易測(cè)量的困難，二人絕妙地創(chuàng)造出了“Fama-FrenchXMY型因子”——使用公司特征的差異作為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源的代表因子。設(shè)某公司特征K將市場(chǎng)上所有公司等分為K組，按照K的取值由高到低（或由低到高）排序，K最大的一組平均收益率為X，最小的一組平均收益率為Y，則它們的差為XMY，也可以作為某個(gè)宏觀因素m的代理變量。m滿足：它對(duì)K高的公司影響與對(duì)K低的公司影響是不一樣的，即K組公司對(duì)m的暴露度不同。這樣X(jué)MY就可以作為m的代理變量（雖然不知道m(xù)具體是什么）。這一開創(chuàng)性設(shè)計(jì)也正解釋了二者輝煌的成就。探究多因子模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理后，可以將這種洞見(jiàn)延伸至相關(guān)的其他模型。這里為CAPM模型提供類似的視角。CAPM模型認(rèn)為，在投資者二階理性假設(shè)和完美市場(chǎng)假設(shè)下，如果市場(chǎng)組合是有效的，那么市場(chǎng)上任何一個(gè)資產(chǎn)i的期望收益率滿足Eri-rf=βi（Erm-rf），其中，2iMiMσβσ=，具體可參見(jiàn)朱光宇的研究成果[11]。若記超額收益率Ri=ri-rf，則CAPM模型可表示為ERi=βiERM。結(jié)合第四部分的討論，可以得出，CAPM模型是單指數(shù)模型在有效市場(chǎng)中的特殊形式，是市場(chǎng)收益率被猜想為唯一宏觀因素時(shí)的因子分析。如果CAPM模型假設(shè)成立，即證券i被公平定價(jià)，那么αi=0；然而，在實(shí)務(wù)中市場(chǎng)不一定有效，如果回歸結(jié)果表示應(yīng)拒絕H0：αi=0，即0iα∧≠顯著，說(shuō)明證券被錯(cuò)估，從而可以進(jìn)行套利?？梢哉f(shuō)，CAPM模型是“特殊的特殊”，既保留了因子分析的智慧，又充滿了簡(jiǎn)潔的美感，它的廣泛應(yīng)用也體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)與金融學(xué)結(jié)合的巨大魅力，有很廣闊的應(yīng)用前景。

六、結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)論述了投資學(xué)因子模型的構(gòu)建和統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析的范式，并創(chuàng)造性地探究了二者之間的關(guān)系。得出：因子模型作為統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析特殊形式，可以解決投資學(xué)因子模型在應(yīng)用時(shí)對(duì)理論完備性的顧慮，也補(bǔ)全了國(guó)內(nèi)對(duì)因子模型理論研究的空白。此外，文章應(yīng)用到的正交因子分析技術(shù)也可相應(yīng)地運(yùn)用到因子模型中，作為投資者尋找因子的有力武器。

作者:賈宗藝 單位:山東工商學(xué)院國(guó)際商學(xué)院