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1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須體現(xiàn)直觀性原則
1.1數(shù)學(xué)圖示類的直觀
講授《高等數(shù)學(xué)》定積分時，一個常用技巧就是化簡具有奇偶性的函數(shù)在對稱區(qū)間的積分。課本上一道例題給出了化簡法則的代數(shù)證明，但是純代數(shù)推導(dǎo)過程會讓學(xué)生感覺過于抽象，課程也會變得乏味。如果使用直觀的圖形，進(jìn)行無字證明，就可以讓學(xué)生從圖示中直接看到奇函數(shù)積分左右抵消的結(jié)果。再進(jìn)一步加強(qiáng)，對稱中心(對稱軸)不在原點(diǎn)(y軸)時，也可以通過平移使用這個性質(zhì)，常見的情形如:任意正(余)弦函數(shù)在每個波峰波谷之間的半個周期上的定積分都是零，而不一定要關(guān)于原點(diǎn)對稱。為了讓學(xué)生更透徹更直觀地了解知識點(diǎn)，需要具體的例題支撐，接下來給出例1，計算定積分∫π20sin2xdx．解答:利用倍角公式，原題可化為12∫π20(1－cos2x)dx=(12∫π20dx－∫π20cos2xd)x，可以發(fā)現(xiàn)積[分區(qū)間0，π]2恰好是cos2x從波峰到波谷的半個周期，因此這一部分積分為0，原題最終結(jié)果等于12∫π20dx=π4。學(xué)生直觀的看到較復(fù)雜的函數(shù)計算也可以簡化，自然對這個性質(zhì)印象深刻，應(yīng)用起來也會得心應(yīng)手。
1.2實(shí)際操作類的直觀
《概率論》的貝葉斯公式一節(jié)有一個著名的問題———三門問題。例2在一個電視節(jié)目中，有3扇關(guān)閉了的門，其中有一扇門的后面獎品是汽車，另外兩扇門后面的獎品則是一只山羊，當(dāng)然我們都希望拿到汽車，而不愿意把山羊領(lǐng)回家。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道內(nèi)情的節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，故意露出其中一只山羊。請問此時是否應(yīng)該換另一扇仍然關(guān)上的門?這個問題出自于名為Let'sMakeaDeal的美國電視節(jié)目，經(jīng)常出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)論壇上，每次都會引起激烈的爭論，因?yàn)殡m然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺。和網(wǎng)上的情形一樣，課堂上也出現(xiàn)了兩種完全不同的聲音。如果僅僅通過計算得到結(jié)果，似乎做不到讓學(xué)生“口服心服”。因此我們可以課堂上現(xiàn)場操作這樣一個具體案例，讓學(xué)生在操作過程中回歸概率的本質(zhì)，直觀地看到這個結(jié)果，再進(jìn)一步分析為什么會有這樣的結(jié)果，經(jīng)過這樣一個實(shí)際操作的模式，可以讓學(xué)生對全概公式以及貝葉斯公式的本質(zhì)更加清晰，達(dá)到了很好的學(xué)習(xí)效果。此外，此問題的答案與主持人是否知情有關(guān):原題中主持人知情，故意開了一個“羊門”，那么更換后獲獎概率從1/3上升至2/3;如果把條件稍加修改，改為主持人不知情，只是恰好打開一個“羊門”，那么換不換是一樣的，獲獎率都是1/2。這個細(xì)節(jié)上的差別恰恰就是引起爭論的根源。
1.3現(xiàn)實(shí)情境類的直觀
《線性代數(shù)》是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中抽象程度最高的課程，代數(shù)也被H．Weyl喻為“惡魔”。該課程概念繁多且環(huán)環(huán)相扣，尤其在目前數(shù)學(xué)課時并不富余的大環(huán)境下，借助數(shù)學(xué)直觀讓學(xué)生把這些抽象概念具體化，順利的制服這個“惡魔”，是一個值得探討的話題。矩陣的秩是線性代數(shù)中出現(xiàn)的第一個難于理解的概念，初學(xué)者在看完定義后的困惑就是“這個概念究竟要干什么?有什么用?”。此時可以給出一個不太嚴(yán)格，但是很直觀的解釋———秩就是矩陣包含的信息量!再給出秩為0、1、2的矩陣配合定義加以說明，學(xué)生腦中秩的直觀印象就建立起來了。再由此可以深入淺出地介紹其他一些和秩相關(guān)的理論。如齊次線性方程組解空間的維數(shù)，也可以從直觀的角度加以說明。如果方程組中一個方程都沒有，那么n維空間中隨意一點(diǎn)都滿足方程組，有n個自由度，每添加一個新的方程就相當(dāng)于限制了一個自由度。但是重要的不是方程的總數(shù)，也許100個方程的信息量都是重復(fù)的，因此重要的是“新的”方程的總數(shù)，也就是矩陣的秩。還有一些常用不等式也能以直觀性原則說明。例如r(AB)≤r(B)，矩陣B所攜帶的信息量就是r(B)，無論對它加以什么樣的線性變換A，也無法增加其信息量，至多只能保持不變，或者減少。同樣r(A+B)≤r(A)+r(B)，矩陣疊加后信息量不會超過原來兩個矩陣的總和，還有可能因信息重復(fù)而減少，因而不等式成立。當(dāng)然直觀解釋并不是萬能的，從上述例子可以看出，為了把概念解釋的更直觀，通常需要喪失一些嚴(yán)密性。PhilipJ．Davis和ReubenHersh給出了數(shù)學(xué)直觀的一些負(fù)面性質(zhì):直觀是嚴(yán)密的對立面;直觀意味著不全面;直觀意味著不考慮問題的細(xì)節(jié)、不對問題進(jìn)行分析，意味著全體或統(tǒng)合。筆者認(rèn)為對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，這種嚴(yán)密性的缺失是可以接受的。
2數(shù)學(xué)理論應(yīng)該貼近實(shí)際應(yīng)用
德國數(shù)學(xué)家高斯曽把數(shù)學(xué)喻為“科學(xué)的女王”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論在其他各學(xué)科中的指導(dǎo)作用。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說過，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，無處不用數(shù)學(xué)?！边@是對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界關(guān)系的精彩描述，在上世紀(jì)60年代他本人也親力親為，致力于把數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)生活當(dāng)中，在當(dāng)時極差的學(xué)術(shù)科研環(huán)境中促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用。公安學(xué)和公安技術(shù)學(xué)作為新成立的一級學(xué)科，自然也離不開數(shù)學(xué)這個重要的科研工具。但是很多學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用性不甚了解，總認(rèn)為數(shù)學(xué)知識學(xué)了沒用，產(chǎn)生這種觀念的原因在于數(shù)學(xué)應(yīng)用并不是浮現(xiàn)于表面上，而經(jīng)常滲透在公安技術(shù)的幕后，因此，不能直接看到數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用。因此教師在授課過程中也有責(zé)任給學(xué)生揭示數(shù)學(xué)應(yīng)用性的重要意義，讓學(xué)生了解并能主動運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行專業(yè)研究。數(shù)學(xué)課主要集中在前3個學(xué)期，學(xué)生的知識儲備還不夠豐富，所以很多高深技術(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用他們并不理解，為解決這個矛盾，更需要把數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)直觀結(jié)合起來，深入淺出地揭示出隱藏在公安技術(shù)背后的數(shù)學(xué)理念，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)在實(shí)際問題尤其是公安問題中的發(fā)揮強(qiáng)大作用，讓學(xué)生學(xué)得有目標(biāo)有方向有動力。如函數(shù)連續(xù)性是較為抽象的一節(jié)內(nèi)容，這一節(jié)沒什么具體計算，通篇是理論的證明，學(xué)生學(xué)到這種知識點(diǎn)時經(jīng)常會有飄渺的感覺，為解決這種問題可引入下面的數(shù)學(xué)模型問題。例3把椅子放在不平的地面上，通常只有3條腿著地，放不穩(wěn)，然后只需稍微挪動，一般都可以使4條腿同時著地，這是必然還是偶然?問題的解法這里不再贅述。通過這樣一些實(shí)際生活中的例子，讓學(xué)生看到連續(xù)性理論的作用，讓飄渺在半空的知識落下來腳踏實(shí)地，對知識的理解以及運(yùn)用也會更為熟練。這個例子似乎離公安專業(yè)還是較遠(yuǎn)，還不足以讓學(xué)生深刻了解數(shù)學(xué)在公安工作中的具體應(yīng)用。下面結(jié)合公安大學(xué)的公安專業(yè)特色，舉出一些體現(xiàn)公安工作中數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)案例。
3公安工作中數(shù)學(xué)應(yīng)用性的案例教學(xué)
案例1層析成像。線性代數(shù)源自于線性方程組求解問題，學(xué)生在初學(xué)時會覺得問題本身過于初等，初中就開始解方程組了為什么現(xiàn)在還要學(xué)這個?在線性代數(shù)緒論中，筆者引入如下引例，層析成像的基本理論。層析成像的完整理論相當(dāng)復(fù)雜，但其基本思路是通過射線減弱的比例關(guān)系，轉(zhuǎn)化為出線性方程組求解的問題，由此案例可以體現(xiàn)出線性方程組深刻的應(yīng)用內(nèi)涵。當(dāng)然其中還涉及模型的具體構(gòu)建，以及矛盾方程組修正的問題，這與課程主題關(guān)系較遠(yuǎn)，可不做說明。案例2PageRank原理。在數(shù)學(xué)課中，線性代數(shù)是比較抽象的，因此格外需要以應(yīng)用性輔助教學(xué)，讓學(xué)生明白抽象的理論如何運(yùn)用到具體案例中。比如《矩陣的特征值特征向量》一章中，我們可以將例題用數(shù)據(jù)庫搜索的模式給出。PageRank是Google創(chuàng)始人拉里•佩奇和謝爾蓋•布林于1997年開發(fā)出的一套用于網(wǎng)頁評級的系統(tǒng)。它區(qū)別于早期的網(wǎng)頁評價系統(tǒng)的基本思想在于不僅考慮網(wǎng)頁的入鏈個數(shù)，還要考慮相關(guān)網(wǎng)頁的質(zhì)量因素。設(shè)共有n個網(wǎng)頁，它們之間有一些互相鏈接，開始我們認(rèn)為它們具有相同的權(quán)重，基于下面兩條基本假設(shè)，讓這些網(wǎng)頁之間重新分配權(quán)重，數(shù)量假設(shè):某網(wǎng)頁被其他網(wǎng)頁指向的入鏈個數(shù)越多，則這個網(wǎng)頁越重要。質(zhì)量假設(shè):重要的網(wǎng)頁所指向的網(wǎng)頁也會變得重要，也就是重要網(wǎng)頁通過鏈接傳遞給目標(biāo)網(wǎng)頁更大的權(quán)重。開始我們可以假設(shè)所有的網(wǎng)頁權(quán)重都是1，即權(quán)重向量為x=(1，1，…，1)T，設(shè)Google矩陣為A，以矩陣乘法重新分配網(wǎng)頁權(quán)重，經(jīng)過多次迭代最終達(dá)到穩(wěn)定值，可用y=limn→∞Anx表示。求穩(wěn)定向量y就相當(dāng)于求Ay=y的解，這樣的y就是矩陣A的特征向量。很多數(shù)學(xué)模型題目也都大量運(yùn)用線性代數(shù)的基本理論，例如2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目B———碎紙片的拼接復(fù)原(原題略)就是線性代數(shù)以及線性規(guī)劃的理論的典型應(yīng)用。雖然課上不能展開細(xì)講，但是作為案例給學(xué)生簡單進(jìn)行介紹，可以讓學(xué)生初步了解到數(shù)學(xué)并不是虛無飄渺的純理論科學(xué)，它可以和實(shí)際問題緊密結(jié)合，以數(shù)學(xué)模型為工具，用理論方法也可以解決現(xiàn)實(shí)問題，通過這樣的教學(xué)模式，也讓學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情以及學(xué)習(xí)動力大大提升。還有很多實(shí)際的刑偵案例也和數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)模型有千絲萬縷的聯(lián)系。案例3Howland遺囑案。這是19世紀(jì)美國最著名的偽造案之一，是由Peirce父子兩位數(shù)學(xué)家的關(guān)鍵證詞而被定案的。案情主要情況如下，SylviaAnnHowland去世后，她的侄女HettyHowlandRob-inson出示了一份遺囑，聲明由她繼承全部遺產(chǎn)，而且這份遺囑的第二頁特別聲明，在其之后的所立的任何遺囑均無效，兩頁都有死者的簽名。而遺產(chǎn)執(zhí)行人拒絕其要求，認(rèn)為第二頁系偽造，因而應(yīng)按照時間稍后的另一份遺囑執(zhí)行。一般認(rèn)定偽造簽名時，是基于偽造樣本與可靠樣本之間的不同點(diǎn)，但此案恰好相反，Peirce父子利用42個可靠樣本的統(tǒng)計分析，認(rèn)定第二頁簽名與第一頁過于相似，30處筆鋒向下的部分完全一致，而42個可靠樣本之間的筆鋒一致率僅有20%，Peirce認(rèn)定“這里出現(xiàn)的一致性必定來自于一種制造它的企圖?！币詫I(yè)的數(shù)學(xué)語言來講，這其實(shí)就是分析獨(dú)立性假設(shè)的合理性，通過假設(shè)檢驗(yàn)，用一種“非參數(shù)”方法來分析這樣的數(shù)據(jù)，最終證實(shí)“這個簽名是真的”這種假設(shè)是錯誤的。
案例4死亡天使案。KristenGilbert，1967年11月13日生于美國馬薩諸塞州，自1989年在VAMC擔(dān)任護(hù)士，她經(jīng)常能夠在第一時間發(fā)現(xiàn)病人的危急情況，并且會在急救小組到來之前給病人注射一劑腎上腺素，有些時候能因此拯救病人的生命，因此被稱為“死亡天使”。1996年，同事的3名護(hù)士反映她在班期間病人的死亡率會比平時偏高，并根據(jù)一些其他情況，認(rèn)為她給病人注射過量藥物導(dǎo)致病情發(fā)作，以此來扮演搶救病人的英雄角色，據(jù)此對她提出指控，認(rèn)為她犯有多重謀殺罪。受醫(yī)院所托，馬薩諸塞大學(xué)的StephenGehl-bach對病房數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并于1998年向大陪審團(tuán)提交了經(jīng)由統(tǒng)計分析所得到的結(jié)果。Gehlbach的證詞基于假設(shè)檢驗(yàn)，下表給出了18個月的病房統(tǒng)計數(shù)據(jù)。單用簡單的除法進(jìn)行計算，已經(jīng)可以看出死亡天使在班期間死亡率確實(shí)高于平時，但就嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆沙绦蚨?，這甚至還不足以提出指控，而統(tǒng)計學(xué)的作用正是要抓住數(shù)據(jù)背后的真相，判定這究竟是蓄意還是巧合。Gehlbach的計算結(jié)果如下，如果死亡天使沒有故意殺人的舉措，那么她遇到74例死亡當(dāng)中的40例的概率要小于一億分之一，幾乎是不可能的。本案最終沒有把計算結(jié)果作為直接定罪的證據(jù)，但是Gehlbach的分析證實(shí)了醫(yī)院死亡率的增加不是偶然因素造成，這樣的計算結(jié)果說明指控Gil-bert蓄意謀殺確有合理的基礎(chǔ)。結(jié)案后，Gehlbech與辯護(hù)方數(shù)學(xué)專家合作發(fā)表文章，對此案中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了進(jìn)一步的分析和總結(jié)。
4數(shù)學(xué)模型相對于現(xiàn)實(shí)的局限性
數(shù)學(xué)科學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，又反過來可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，但是數(shù)學(xué)也不是萬能的，它是公安工作強(qiáng)有力的輔助工具，但是絕對不能完全的代替公安工作，歷史上也曾有過因此出現(xiàn)紕漏的情況。案例5Rossmo的失誤。地理空間分析技術(shù)是指由系列犯罪地點(diǎn)的地理關(guān)系來推斷犯罪嫌疑人可能落腳點(diǎn)及行動規(guī)律的偵查方法，現(xiàn)在已經(jīng)是非常成熟的刑偵方法，KimRossmo正是專門從事此方面研究的專家。真正使他名聲大震的正是他失誤的那一次，路易斯安那州的城南強(qiáng)奸案。Rossmo于1991年給出一個著名的數(shù)學(xué)模型用以確定犯罪嫌疑人所處的熱區(qū)，Pij=k∑cn=(1Φ(|xi－xn|+|yi－yn|)f+(1－Φ)(Bg－f)(2B－|xi－xn|－|yi－yn|))g，并以其作為理論基礎(chǔ)編寫了名為Rigel的軟件用來尋找罪犯位置，獲得了一些成果。但是在1998年的城南強(qiáng)奸案中，Rossmo卻出師不利，他使用Rigel將搜索范圍縮小到大約1．25km2的范圍，區(qū)域內(nèi)共有十余名嫌疑犯被逐一排查，但是DNA檢測都與現(xiàn)場證據(jù)不符，案件失去了方向。這時出現(xiàn)了另一條線索，有人匿名檢舉臨近機(jī)構(gòu)的司法長官，經(jīng)過偵查取證最后證實(shí)此人就是真正的罪犯，但是他的工作居住地點(diǎn)離計算出的熱區(qū)非常遠(yuǎn)。事后經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)罪犯剛剛搬家，以前居住地就在熱區(qū)當(dāng)中，這恰恰說明模型沒有錯誤，而僅僅是偵查上的失誤，Rossmo也因此案名聲大震，成為偵查界的知名人士。由這個案例可以看出，現(xiàn)實(shí)世界具有無窮的復(fù)雜性，而數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)模型是單純的，我們只能用數(shù)學(xué)模型來高度概括模擬現(xiàn)實(shí)，卻不能用它來代替現(xiàn)實(shí)。如果遇到無法解決的問題，并不是說數(shù)學(xué)錯了，而是我們的已知條件還不夠多，模擬還不夠精確，我們所要做的應(yīng)該是修正模型，尋找新的條件，這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在。
5結(jié)語
直觀性和應(yīng)用性的內(nèi)涵相當(dāng)豐富，限于水平和篇幅，筆者只能從相當(dāng)粗淺的角度將其滲透到課堂當(dāng)中，對教學(xué)方法做出一些皮毛上的革新。但筆者也認(rèn)為在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的時代，在教學(xué)改革創(chuàng)新日新月異的今天，以直觀性和應(yīng)用性原則輔助數(shù)學(xué)教學(xué)還有極為廣闊的發(fā)展空間。筆者此文權(quán)當(dāng)拋磚引玉，希望相關(guān)學(xué)者與教育專家以及各位同事能夠?qū)?shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)應(yīng)用再多一些關(guān)注和研究，以數(shù)學(xué)直觀揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，以數(shù)學(xué)應(yīng)用推動學(xué)科結(jié)合，給課堂教學(xué)注入新的理念和活力，在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域開辟一片新的天空。
作者：管濤 左萍 單位：中國人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院