問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)原則探思
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摘要：問題是促動學(xué)科發(fā)展的原始動力，數(shù)學(xué)也不例外．問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)研究依據(jù)課程標準“要創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題”的要求，進行相應(yīng)的理論思考和實踐探索．問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予問題有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生在問題情境空間中探究生成數(shù)學(xué)知識，習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法并學(xué)會思考．基于問題驅(qū)動理論與數(shù)學(xué)學(xué)科的特點剖析問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和基本思想，構(gòu)建針對具體課時的問題驅(qū)動教學(xué)實施步驟，為教學(xué)的設(shè)計與組織提供參考．
關(guān)鍵詞：問題驅(qū)動；問題情境；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想
1問題驅(qū)動與數(shù)學(xué)教學(xué)
由于數(shù)學(xué)的特點和教材編寫的需要，數(shù)學(xué)教科書基本上是以概念的描述、定理的證明、法則的論證等構(gòu)成形式化的邏輯演繹體系，而知識產(chǎn)生的原始問題與豐富背景都幾乎消失殆盡．這使學(xué)習(xí)者在一堆符號化的邏輯推理中很難體會到所蘊含的數(shù)學(xué)美及其重要價值．但“數(shù)學(xué)并不是按照教科書中的方式發(fā)展的”[1]．問題是促進學(xué)科發(fā)展的原始動力，數(shù)學(xué)也不例外．M.Kline就曾指出：“每一個數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的．”[2–3]因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)圍繞問題展開．《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》[4]強調(diào)“教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題……教學(xué)情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境”，并指出“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”．教師需通過問題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會思考．要求設(shè)計合適的教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題為學(xué)生提供具有挑戰(zhàn)性的實踐創(chuàng)新平臺，問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)研究也正是基于課程標準的要求進行相應(yīng)的理論和實踐探討．問題驅(qū)動教學(xué)的實質(zhì)就是指要創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生圍繞問題情境探究發(fā)現(xiàn)，在解決問題的過程中體驗數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程，習(xí)得具體的知識獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法[5]．以問題驅(qū)動教學(xué)，能再現(xiàn)數(shù)學(xué)豐富多樣的“火熱”思考過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)并教學(xué)生學(xué)會思考；以問題驅(qū)動教學(xué)，有助于學(xué)生在問題情境中從事探索活動，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中生成“形式化”的數(shù)學(xué)概念與原理并習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法．數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾提出“以問題驅(qū)動的新概念數(shù)學(xué)”[6]，李大潛院士也大力提倡“問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”[7]，還有許多文獻從不同的角度探討了問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)教學(xué)[8–11]．2018和2019年出版的著作《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》[5，12–13]的理論與實踐卷、概率與統(tǒng)計卷、復(fù)數(shù)與三角卷系統(tǒng)地探討了問題驅(qū)動教學(xué)理論及其在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用．
2問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則
問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“由問題到理論”，是對荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”思想的具體化．弗賴登塔爾認為任何數(shù)學(xué)都是“數(shù)學(xué)化”的結(jié)果，學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)“數(shù)學(xué)化”的過程[14]．從現(xiàn)實情境發(fā)現(xiàn)問題并抽象出數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)問題的符號化過程稱為“橫向數(shù)學(xué)化”．從不同角度和層次分析、表征與解決數(shù)學(xué)模型或問題的形式化過程稱為“縱向數(shù)學(xué)化”．但弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀主要從學(xué)生認知層面強調(diào)教學(xué)組織過程，根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”將一系列的教學(xué)材料通過“再創(chuàng)造”將之“數(shù)學(xué)化”地組織起來，即“如何教”．問題驅(qū)動教學(xué)除了關(guān)注“如何教”，也重視“教什么”與“為什么教”．它從教育哲學(xué)層面深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部去剖析知識的背景與價值，進而創(chuàng)設(shè)能反映本質(zhì)，符合學(xué)生實際的問題與情境驅(qū)動教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”過程．數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展在解決現(xiàn)實問題、科學(xué)問題和內(nèi)部矛盾的過程中逐步完善．所以，數(shù)學(xué)概念或原理的形成可以是源于現(xiàn)實生活、自然與工程等科學(xué)或者是數(shù)學(xué)本身的問題．只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的”[6]問題都是好問題、真問題．真問題又常劃分為“本原性問題”和“派生性問題”兩類[9]：前者指促使事物產(chǎn)生的最初根源，后者是指某個數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生之后根據(jù)自身邏輯發(fā)展產(chǎn)生的問題．問題有助于數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，但“問題不等于問題情境”[15]，只有當學(xué)生面對問題有解決它的心向和欲望——即具備有意義學(xué)習(xí)的條件時，問題才能構(gòu)成問題情境，才能真正做到以問題驅(qū)動教學(xué)．從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，有效的問題情境材料應(yīng)“具有一定的生活意義、數(shù)學(xué)價值或科學(xué)價值”[9]．要創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}及其情境，需追溯數(shù)學(xué)史回答以下3個問題：這個內(nèi)容當初是怎么產(chǎn)生與發(fā)展的？人們?yōu)槭裁匆パ芯克?？它有什么價值？通過歷史挖掘承載在具體數(shù)學(xué)知識之上的問題背景、思想方法以及數(shù)學(xué)家的研究精神．由此可見，基于問題驅(qū)動的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實施至少需遵循以下3個原則．
2.1問題驅(qū)動原則
正如哈爾莫斯所言，問題是數(shù)學(xué)的心臟．問題也是數(shù)學(xué)課堂的核心，教學(xué)應(yīng)依據(jù)歷史與學(xué)生實際對教材重組“再創(chuàng)造”，提出合適的真實問題，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境驅(qū)動概念與原理的教學(xué)．教師為學(xué)生提供探索活動的適當問題空間，引導(dǎo)他們在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并習(xí)得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想、學(xué)會思考，進而運用所學(xué)解決具體問題、鞏固新知、體驗“用數(shù)學(xué)”的過程．圍繞恰當問題情境展開教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力．
2.2密切聯(lián)系現(xiàn)實原則
這里的“現(xiàn)實”有兩層含義：一是指學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與實際生活經(jīng)驗，二是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景．問題驅(qū)動教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予有效的情境，教師進行教學(xué)的設(shè)計與組織時必須考慮學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的現(xiàn)實，使提出的問題在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使依據(jù)數(shù)學(xué)產(chǎn)生背景所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境是學(xué)生所能理解的現(xiàn)實情境、科學(xué)情境或數(shù)學(xué)情境．數(shù)學(xué)在解決各種各樣的問題中形成相應(yīng)的概念和原理，教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)適當?shù)膯栴}及其情境反映這個過程并讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性、深刻性、嚴謹性與趣味性．學(xué)生在問題情境中經(jīng)歷從現(xiàn)實世界向數(shù)學(xué)世界和符號世界過渡的完整“數(shù)學(xué)化”過程，在獲得基本知識與技能、基本思想與活動經(jīng)驗的同時學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界”[4]，促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．
2.3知識生成原則
學(xué)生已有的知識儲備和相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)新知識的重要支架．新知應(yīng)在舊知的基礎(chǔ)上引發(fā)，學(xué)生在經(jīng)歷知識的發(fā)生過程中建立起知識間的實質(zhì)和意義聯(lián)系，進而形成良好的整體認知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生對知識的理解并實現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移．這也要求教師深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部剖析教材內(nèi)容，確定教學(xué)的困難或存在的問題，明確單元的整體知識結(jié)構(gòu)以及各知識點在單元內(nèi)部、單元之間、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部和外部之間的聯(lián)系，理清知識脈絡(luò)與所體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想，以尋找教學(xué)的合適生長點．
3問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想
有效實施問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的前提是教師能依據(jù)歷史和學(xué)生實際重構(gòu)教材，整體把握教學(xué)內(nèi)容，確定核心問題，設(shè)置恰當?shù)默F(xiàn)實問題情境，在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的完整過程．數(shù)學(xué)具有“原始形態(tài)”“學(xué)術(shù)形態(tài)”“教育形態(tài)”3種存在形式[16]．教師應(yīng)具備將知識在數(shù)學(xué)史中的“原始形態(tài)”和教科書中的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為再現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展過程的“教育形態(tài)”的能力．如果說，研究數(shù)學(xué)史和教科書是為了揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與教學(xué)價值，以厘清“教什么”與“為什么教”．那么將數(shù)學(xué)的“原始形態(tài)”和“學(xué)術(shù)形態(tài)”有效轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生接受的“教育形態(tài)”，就是為了解決“如何教”的問題．因此，問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的組織與實施需把握以下4個基本思想．
3.1基于對教學(xué)單元的整體把握
深入理解具體課時內(nèi)容課時內(nèi)容是單元的一個部分，單元則是數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)中最小的整體．要掌握局部的課時內(nèi)容，就需理解其在單元中的地位與作用．進一步地，還需了解單元與數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，甚至是與其它學(xué)科的聯(lián)系．這樣才能設(shè)置恰當?shù)膯栴}與情境更好地組織具體課時的教學(xué)．要整體把握數(shù)學(xué)單元，就是要依據(jù)課程與單元專題的總體目標、教材的體系、數(shù)學(xué)史和學(xué)生的實際去深入剖析教學(xué)內(nèi)容的價值與地位．換句話說，把握數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)是為了服務(wù)局部的課時內(nèi)容，為了更好地揭示知識背后的思想及相互間的聯(lián)系．而充滿各種聯(lián)系的局部內(nèi)容構(gòu)成了具有生命力的整體認知結(jié)構(gòu)．
3.2基于歷史與學(xué)生現(xiàn)實“再創(chuàng)造”教材內(nèi)容呈現(xiàn)知識的教育形態(tài)
數(shù)學(xué)專著的內(nèi)容基本以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)一堆數(shù)學(xué)化的形式結(jié)果，看不到知識的起源與發(fā)展，感受不到數(shù)學(xué)家曲折而豐富的思考過程．教科書雖然不同于數(shù)學(xué)專著，但為了便于組織也基本按照“定義→定理或公式法則的證明→應(yīng)用”的順序組織教材．數(shù)學(xué)史則是以原始形態(tài)表現(xiàn)數(shù)學(xué)，反映知識的發(fā)生發(fā)展和思想方法的形成過程，但也包含了各種細節(jié)以及數(shù)學(xué)家所走過的彎路．弗賴登塔爾強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要經(jīng)歷歷史上的重要步驟卻并非要重復(fù)歷史，而是要依據(jù)歷史結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和原始形態(tài)轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教育形態(tài)．所以，教師需整體把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識，運用數(shù)學(xué)史知識和學(xué)生實際重構(gòu)教材，圍繞問題在課堂教學(xué)組織中有的放矢地再現(xiàn)數(shù)學(xué)家“火熱的思考”過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
3.3基于問題驅(qū)動教學(xué)揭示概念與原理的本質(zhì)
數(shù)學(xué)概念特別是基礎(chǔ)的核心概念是數(shù)學(xué)這座大廈的基石，相應(yīng)的理論和定理構(gòu)成了大廈的框架，各個定理、命題之間的相互關(guān)系及其蘊含的思想方法則充實了框架結(jié)構(gòu)，形成了有血有肉的整體．以問題驅(qū)動教學(xué)是生成概念和獲得原理的最佳途徑，學(xué)生在合適的問題空間中進行探索活動并體驗數(shù)學(xué)思想方法的形成過程．雖然在實際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不可能每節(jié)課都圍繞著一個核心問題展開教學(xué)．但對于在數(shù)學(xué)知識體系中起著基礎(chǔ)作用的重要概念和定理，最適合也最需要以問題驅(qū)動的方式展開教學(xué)來揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．通過問題驅(qū)動教學(xué)，讓學(xué)生深刻體驗數(shù)學(xué)概念與原理背后所隱藏的思想方法，體驗到數(shù)學(xué)的價值、作用與魅力．一般而言，對于新課——如概念、定理、性質(zhì)或公式的講授，應(yīng)盡可能地選擇恰當問題設(shè)置真實有效的情境展開教學(xué)，讓學(xué)生有機會親歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程．而在圍繞一節(jié)課的核心問題驅(qū)動教學(xué)的過程中，為了幫助學(xué)生更好地開展探究活動，教師仍需要給合學(xué)生的實際設(shè)置一系列有啟發(fā)性的、有前后邏輯關(guān)系的問題鏈．如果把核心問題比作“大問題”，那么問題鏈就是為了大問題的解決而設(shè)置的一個個小臺階，讓不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生都有機會到達目標——解決大問題并揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)．為鞏固新知，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵與外延、原理的適用范圍與限制條件等，同樣也要設(shè)置一系列反映概念本質(zhì)屬性、原理實質(zhì)的變式問題進行習(xí)題課的教學(xué)．可見，問題總是教學(xué)的中心，但“問題鏈”與本原性問題、派生性問題在教學(xué)中的意義及作用不盡相同．
3.4基于“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建相互聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)
將數(shù)學(xué)內(nèi)容問題化，將問題情境化，并以問題驅(qū)動教學(xué)是為了更好地實現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”．讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程的實質(zhì)也是要求教師用“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容的過程．弗賴登塔爾指出要教充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)，才有利于學(xué)生理解、記憶與運用知識，才能形成數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)．學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化的過程將數(shù)學(xué)與外部現(xiàn)實聯(lián)系起來，經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化的過程則是在數(shù)學(xué)的內(nèi)部建立起彼此間豐富的聯(lián)系．通過“數(shù)學(xué)化”，幫助學(xué)生將一個個概念、原理、公式、法則有機組織在一起形成完善的知識體系獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，實現(xiàn)知識在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部及其與其它學(xué)科之間的密切聯(lián)系．
4問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的基本步驟
數(shù)學(xué)研究的起點可以是數(shù)學(xué)問題也可以是科學(xué)問題或現(xiàn)實問題，在解決問題的過程中抽象出數(shù)學(xué)的概念與原理，進而運用結(jié)論解決其它的數(shù)學(xué)問題、科學(xué)問題或現(xiàn)實問題．數(shù)學(xué)研究的過程也反映了數(shù)學(xué)教育的基本過程，如圖1[5]，從“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”與從“現(xiàn)實到數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)教育的兩條基本主線．“數(shù)學(xué)化”的出發(fā)點指研究的起點是數(shù)學(xué)問題，“生活化”的出發(fā)點指研究的起點為科學(xué)問題或現(xiàn)實問題．不管是從數(shù)學(xué)本身出發(fā)還是從現(xiàn)實開始，研究所獲得的結(jié)論既可用以解決數(shù)學(xué)問題也可處理實際問題．圖1數(shù)學(xué)教育的基本過程數(shù)學(xué)教學(xué)是對數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，是要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程．如果數(shù)學(xué)來源于生活問題或科學(xué)問題，教學(xué)情境就盡可能與學(xué)生生活實際密切聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活價值或科學(xué)價值．強調(diào)數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系也是“淡化形式，注重實質(zhì)”[1718]的教學(xué)體現(xiàn)．如果知識產(chǎn)生于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需要，問題就應(yīng)融于適當?shù)臄?shù)學(xué)情境，反映知識的數(shù)學(xué)價值．這或許與徐利治先生所說的“數(shù)學(xué)教育不必強調(diào)應(yīng)用，可以完全從數(shù)學(xué)的角度進行數(shù)學(xué)教育”[19]有一定的相通之處．圖1給出了數(shù)學(xué)教育的基本路線與框架．對于具體課時的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為便于教師的把握與操作，可根據(jù)數(shù)學(xué)教育的基本過程，構(gòu)建出更具操作性的問題驅(qū)動課時教學(xué)的基本步驟，如圖2．課時教學(xué)組織過程經(jīng)歷Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個步驟．教學(xué)的起點可以是蘊含數(shù)學(xué)問題的科學(xué)情境、現(xiàn)實情境，也可以就是反映知識本質(zhì)的數(shù)學(xué)情境，不管是哪種起點形式都要經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)組織過程．而且教學(xué)的終點都指向應(yīng)用，用獲得的數(shù)學(xué)概念或原理解決數(shù)學(xué)問題或者實際問題．問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認識上升到理性認識的學(xué)習(xí)過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識與思想方法的形成過程．學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中激發(fā)了探究精神，增強了數(shù)學(xué)建模能力和思辨能力，提升了問題意識和應(yīng)用意識，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
5問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的幾種形式
根據(jù)問題驅(qū)動數(shù)學(xué)課時教學(xué)的基本步驟，由于不同的問題情境，教學(xué)過程的展開也略有不同．
5.1若促使數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景是來自現(xiàn)實或科學(xué)的本原性問題
此時教學(xué)過程基本按照圖2經(jīng)歷從Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境或科學(xué)情境抽象出數(shù)學(xué)模型或問題到解決問題獲得新知，再到應(yīng)用新知的過程，學(xué)生同時經(jīng)歷了“橫向數(shù)學(xué)化”與“縱向數(shù)學(xué)化”．比如“平面向量”單元“向量”概念的教學(xué)．向量本身就有極強的物理背景，自然可以通過分析學(xué)生所熟悉的既有大小又有方向的力（如重力、浮力、彈力等）后歸納抽象出向量的概念，從物理世界過渡到數(shù)學(xué)的符號世界，經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化．然后再深入探討向量的幾何表示方法、相等向量與共線向量的定義，在數(shù)學(xué)內(nèi)部盡可能建立與向量的聯(lián)系，實現(xiàn)縱向數(shù)學(xué)化．再在解決問題中鞏固和運用向量的概念．
5.2若促使數(shù)學(xué)知識的形成源于數(shù)學(xué)自身邏輯的本原性問題
這時教學(xué)則需從Ⅰ→Ⅲ→Ⅳ讓學(xué)生從實際的數(shù)學(xué)問題情境經(jīng)歷“縱向數(shù)學(xué)化”獲得新知，再應(yīng)用新知解決實際問題的過程．比如復(fù)數(shù)概念的教學(xué)．復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生并非為了處理類似012x的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，由此引入復(fù)數(shù)不僅不符合歷史事實，也會給學(xué)生的理解帶來更多的困惑[20]．從古希臘丟番圖時期一直到16世紀前半葉，數(shù)學(xué)家們對類似方程012x的解的問題也都是置之不理，那為什么非要引進新數(shù)讓它有解呢？事實上，復(fù)數(shù)是在解一元三次方程時遇到了現(xiàn)實的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾而產(chǎn)生的．1545年，卡丹在他的《重要的藝術(shù)》里發(fā)表了形如03qpxx的三次方程解法和其中一個根的表達式，即于是人們不得不考慮負數(shù)平方根的性質(zhì)及其與實數(shù)的聯(lián)系，由此引入新數(shù)——虛數(shù)單位i和復(fù)數(shù)的概念．教學(xué)完全可以結(jié)合這樣的數(shù)學(xué)背景創(chuàng)設(shè)情境激起學(xué)生的認知沖突自然進入“縱向數(shù)學(xué)化”，然后從不同的角度理解和用不同的方式表征新知識，進而形成完善的概念并應(yīng)用概念．
5.3若數(shù)學(xué)知識的形成是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部形式邏輯推導(dǎo)的派生性問題
這種情況教學(xué)需從Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)問題中經(jīng)歷推導(dǎo)和歸納過程，通過豐富的“縱向數(shù)學(xué)化”或直觀形象的解釋獲得新知，再鞏固應(yīng)用新知．比如，平方差公式22))((bababa，它是多項式乘以多項式衍生出來的一個特殊結(jié)論．教學(xué)自然可以從一類滿足公式的多項式乘以多項式的例題入手進行“縱向數(shù)學(xué)化”，在復(fù)習(xí)舊知的過程中讓學(xué)生觀察結(jié)構(gòu)、歸納規(guī)律．由特殊例子到結(jié)論一般化使學(xué)生經(jīng)歷形式的代數(shù)證明和直觀的幾何解釋（如圖3），有助于學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬎季S和直觀的形象思維的養(yǎng)成．例題與習(xí)題的處理由淺入深重點剖析公式的結(jié)構(gòu)與字母a、b代表的意義．通過多視角、多維度的“縱向數(shù)學(xué)化”讓學(xué)生對平方差公式形成整體的認知結(jié)構(gòu)．
作者:王海青 曹廣福 單位:惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院
