控制工程下創(chuàng)新性數(shù)學(xué)補充及創(chuàng)新性

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摘要:控制工程理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往是專業(yè)課所忽略的。在拉氏變換、分式展開、勞斯表、離散化微分等公式中補充和強調(diào)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，建立了不能求得傳遞函數(shù)的彈簧－質(zhì)點－干摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，提出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的黏性力矩阻尼系數(shù)命名。研究易化了該學(xué)科的理論。

關(guān)鍵詞:機械控制工程基礎(chǔ);數(shù)學(xué)推導(dǎo);二次假設(shè);差分方程;黏性力矩阻尼系數(shù)

在工業(yè)生產(chǎn)上，往往需要控制一些關(guān)鍵參數(shù)，如溫度、壓力、氣體含量等，這屬于機械控制工程［1－3］。機械控制工程已形成了較固定而完備的理論［4］，但是在一些計算公式的推導(dǎo)過程中，由于學(xué)生都學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程，往往忽略一些重要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟，這給初學(xué)者帶來負擔(dān)。在一般院校，尤其是職業(yè)教育院校，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往不夠扎實，難以理解被省略的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟，導(dǎo)致該課程的學(xué)習(xí)難度高。本文研究理論性強的公式、系統(tǒng)建模及其必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

1拉氏變換微積分步驟

由于微積分是高等數(shù)學(xué)的基本知識，專業(yè)著作［5］中往往省略關(guān)鍵步驟。

1．1指數(shù)函數(shù)的拉氏變換

補充復(fù)合函數(shù)的定積分及以下求導(dǎo)結(jié)果:ex()'=dex()dx=ex，e－sx()'=－se－sx，則該式的拉氏變換為LAe－αt[]=∫∞0Ae－αte－stdt=A∫∞0e－(α+s)tdt=A1－(α+s)∫∞0e－(α+s)td[－(α+s)t]=A1－(α+s)e－(α+s)t∝0=A1－(α+s)e－(α+s)∝－e－(α+s)0[]=A1－(α+s)[0－1]=As+α

1．2一次冪函數(shù)的拉氏變換

補充如下分部積分的詳細計算及求不定式的洛必達法則(L'Hopital'srule)計算式:u=t，v'=e－st，u'=1，v=e－st－s，∫udv=∫uv'dt=uv－∫vu'dt=uv－∫vdu，∫baudv=∫bauv'dt=uvba－∫bavu'dt=uvba－∫bavdu，limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x)，式中:fx0()=0gx0()=0{}或fx0()=∞gx0()=∞{}。則該式的拉氏變換等于以下兩項:L[At]=∫∞0Ate－stdt=Ate－st－s∞0－∫∞0Ae－st－sdt，上式的第一項為At－sest∞0=At－sestt=∝－At－sestt=0=(At)'－sest()'t=∝－A·0－ses·0=A－s2estt=∝－0=－0－0=0，則該式為L[At]=∫∞0Ate－stdt=－∫∞0Ae－st－sdt=As∫∞0e－stdt=As2。

1．3正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換

補充復(fù)變函數(shù)的歐拉公式及復(fù)數(shù)定義:j2=－1，sinωt=12jejωt－e－jωt()，cosωt=12ejωt+e－jωt()。正弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為L[Asinωt]=A2j∫∞0(ejωt－e－jωt)e－stdt=A2j1s－jω－A2j1s+jω=A2j1(s+jω)(s－jω)(s+jω)－A2j1(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－A2j1(s－jω)s2－j2ω2()=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j(s+jω)－(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j·2jωs2+ω2=Aωs2+ω2。余弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為L[Acosωt]=A2∫∞0ejωt+e－jωt()e－stdt=A21s－jω+A21s+jω=A21(s+jω)(s－jω)(s+jω)+A21(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A21(s+jω)s2－j2ω2()+A21(s－jω)s2－j2ω2()=A21(s+jω)s2－j2ω2()+1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2(s+jω)+(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2·2ss2+ω2=Ass2+ω2。

2代數(shù)運算

2．1傳遞函數(shù)的部分分式展開法

該展開式是根據(jù)二次方程的求根公式和數(shù)學(xué)建模的待定系數(shù)法而獲得的。將函數(shù)的分子和分母分別因式分解，二次項因子由求根公式獲得兩個一次項相乘的形式，假設(shè)該函數(shù)可展開為F(s)=B(s)A(s)=r1s－p1()+r2s－p2()+…+rns－pn()，式中ri為待定系數(shù)，稱為留數(shù)。留數(shù)由特殊情況確定，在s=pi時，可以將s－pi()乘以等號兩邊，左邊能算出來，右邊為留數(shù)。由于等式仍然成立，所以可求得該待定系數(shù)。分子的冪次如果大于分母的，則須用分母去除分子而得到合理的分式。如可補充多項式相除的豎式計算方式而獲得:G(s)=s3+5s2+9s+7s2+3s+2=s+2+s+3(s+1)(s+2)。該豎式為

2．2勞斯表及其兩個特例

計算二階行列式可采用以下簡易計算式:a1，1a1，2a2，1a2，2=a1，1a2，2－a1，2a2，1。勞斯表是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的，有時會出現(xiàn)兩個特殊情況:1)在新行中，首列元素等于零。為避免被零除，該項須用很小的正數(shù)代替，如－22010⇒⇒－22ε1ε=－2－2εε=2－2ε。2)新行的所有元素均為零。這導(dǎo)致以下所有元素均為零。將上一行所對應(yīng)的多項式求導(dǎo)，由求導(dǎo)結(jié)果確定該新行。所依據(jù)的理論是洛必達法則。如s(6)s(5)s(4)s(3)182016212160212160→80→240→0分別對應(yīng)于多項式:s(6)s(5)s(4)s(3)As(6)()=s6+8s4+20s2+16As(5)()=2s5+12s3+16s1+0As(4)()=2s4+12s2+16As(3)()=A's(4)()=8s3+24s1+02．3基于二次假設(shè)將系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程設(shè)采樣周期為T，用差分代替微分，根據(jù)后(左)向差分的定義及二次假設(shè)，變量x的一階和二階差分為［6－7］:Δx(k)=0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]，Δ2x(k)=x(k)－2x(k－1)+x(k－2)。將以下微分方程離散化:md2xdt2+cdxdt+kx=0，mx(k)－2x(k－1)+x(k－2)T2+c0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]T+kx(k)=0，m+1．5cT+kT2()x(k)+(－2m－2cT)x(k－1)+(m+0．5c)x(k－2)=0。經(jīng)典的轉(zhuǎn)化算法是基于兩層線性假設(shè)的，必然沒有上述基于二次假設(shè)的準確。

3數(shù)學(xué)建模

3．1彈簧－質(zhì)點－干摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

忽略最大靜摩擦力大于動摩擦力的特性，圖1所示系統(tǒng)可建立如下分段方程:－md2xo(t)dt2－fsigndxo(t)dt()+kxi(t)－xo[(t)]=0，式中:sign(v)=+1，v＞0，[－1，+1]，v=0，－1，v＜0。{圖1彈簧－質(zhì)點－摩擦振動系統(tǒng)模型Fig．1Spring-particle-frictionvibrationsystemdiagram該方程不能用來建立傳遞函數(shù)。數(shù)值算法可處理分段形式的微分方程，而傳遞函數(shù)算法不能。

3．2受到阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

設(shè)轉(zhuǎn)子受到阻尼力和外力矩M，則力矩平衡方程為－Jdωdt－fMω+M=0，式中:J為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量;ω為轉(zhuǎn)子的角速度;fM為黏性力矩阻尼系數(shù)，如果半徑為r，阻尼系數(shù)為c，則該系數(shù)為cr2，目前將其定義為摩擦系數(shù)不確切。

4結(jié)束語

S(科學(xué))T(技術(shù))E(工程背景)M(數(shù)學(xué))教學(xué)理念引領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的改進［8］。其中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往是各專業(yè)課所忽視的。本文補充的數(shù)學(xué)推導(dǎo)表面上創(chuàng)新性平常，實際上使高難度知識點簡易化，比一般的理論創(chuàng)新更有實踐價值。本文的理論創(chuàng)新可直接沉淀到教材，因此，也是山東省本科教育改革研究重點項目(Z2020057)的研究內(nèi)容。

作者:李春明 尹曉麗 張曉玲 單位:中國石油大學(xué)(華東)機電工程學(xué)院 山東石油化工學(xué)院