二次函數(shù)精選(九篇)

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第1篇：二次函數(shù)范文

一、 比賽項(xiàng)目與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會的賽場上，人、球或其他物體在空中運(yùn)動的某一段過程形成的軌跡可以看成拋物線，我們以跳水和足球?yàn)槔?

例1 如圖1，2016年里約奧運(yùn)會，某運(yùn)動員在10米跳臺跳水比賽時(shí)估測身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是拋物線y=-[256]x2+[103]x（如圖建立直角坐標(biāo)系，圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為 米.

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為多少米.

【解答】y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是[25，23]，

運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如圖2，在某場足球比賽中，球員甲從球門底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為3m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

[圖2]

（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，問此飛行中的足球能否進(jìn)球門？（不計(jì)其他情況）

（2）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時(shí)手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門？

【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）求出當(dāng)x=2時(shí)，拋物線的函數(shù)值，與2.52米進(jìn)行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），

設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

則拋物線是y=-[112]（x-4）2+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]

故能射進(jìn)球門；

（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，

當(dāng)y=2.52時(shí)，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球員甲的射門.

二、 商品與二次函數(shù)

里約當(dāng)?shù)氐纳痰暧泻芏鄪W運(yùn)紀(jì)念品，店家為了獲得更多利潤，要對紀(jì)念品做出合適的定價(jià).

例3 奧運(yùn)會某紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為每件40美元，如果售價(jià)為每件50美元，每天可賣出210件；如果售價(jià)超過50美元但不超過80美元，每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元，則每天少賣1件；如果售價(jià)超過80美元后，若再漲價(jià)，則每漲1美元每天少賣3件.設(shè)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x美元，每天的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)每天的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）每件紀(jì)念品的售價(jià)定為多少美元時(shí)，每天可獲得最大利潤？每天最大利潤是多少美元？

【分析】（1）當(dāng)售價(jià)超過50美元但不超過80美元時(shí)，每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元，則每天少賣1件，y=260-x，50≤x≤80；當(dāng)售價(jià)超過80美元后，若再漲價(jià)，則每漲1美元每天少賣3件，y=420-3x，80

（2）由利潤=（售價(jià)-成本）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式.

（3）分別求出兩段函數(shù)的最大值，然后作比較.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利潤=（售價(jià)-成本）×銷售量，可以列出函數(shù)關(guān)系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）當(dāng)50≤x≤80時(shí)，w=-x2+300x-10400，

當(dāng)x=80時(shí)有最大值，最大值為7200，

當(dāng)80

當(dāng)x=90時(shí)，有最大值，最大值為7500，

故售價(jià)定為90美元，每天利潤最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會上有很多簽約的贊助商，在奧運(yùn)會期間他們的廣告無處不在.

例4 如圖3，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=xcm.[圖3]

某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積，進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.

【解答】設(shè)包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

S=4ah+a2=4[2]x?[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

第2篇：二次函數(shù)范文

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)重點(diǎn)整體難點(diǎn)

二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后，學(xué)生要學(xué)習(xí)的最后一類重要的代數(shù)函數(shù)，它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程，用二次函數(shù)的相關(guān)知識分析和解決簡單的實(shí)際問題。二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，都是高中階段要學(xué)習(xí)的一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。二次函數(shù)的圖像因?yàn)槭菕佄锞€，關(guān)系式變化形式多，應(yīng)用比較復(fù)雜。我在二次函數(shù)的教學(xué)中，整體把握，重點(diǎn)突破，收到了較好的教學(xué)效果。

1 抓住重點(diǎn)組織教學(xué)

1.1 通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的關(guān)系式，并體會二次函數(shù)的意義

這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。教學(xué)中，應(yīng)從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式。然后，讓學(xué)生觀察、思考：所列的函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)？它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有什么不同？從而引導(dǎo)出二次函數(shù)的概念，讓學(xué)生認(rèn)識二次函數(shù)的各部分名稱。如此，學(xué)生能夠體會到二次函數(shù)來自生活，感受到二次函數(shù)也是描述一類現(xiàn)實(shí)問題中變量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。

1.2 采用“描點(diǎn)法”畫出二次函數(shù)的圖像，從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)

這是二次函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)。一方面，學(xué)生要學(xué)會畫出二次函數(shù)的圖像；另一方面，要能從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)中，教師要扎實(shí)地讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的圖像（不能一帶而過，就讓學(xué)生去解決與圖像有關(guān)的復(fù)雜題），即運(yùn)用探索函數(shù)圖像的方法――“描點(diǎn)法”，一步一步地列表、描點(diǎn)、連線，加深對二次函數(shù)圖像形狀的認(rèn)識。然后，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)圖像的形狀、開口方向、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性等方面去理解二次函數(shù)的性質(zhì)（學(xué)生一邊看圖像，一邊說性質(zhì)，很直觀）。要提醒的是，不僅要讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的準(zhǔn)確圖像，還要會畫二次函數(shù)的示意圖像。

1.3 利用公式確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸，解決簡單的實(shí)際問題

這里包括兩點(diǎn)：一是從二次函數(shù)關(guān)系式上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)，這是學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識；二是列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題，這是學(xué)生學(xué)次函數(shù)的落腳點(diǎn)所在。從直觀的圖像到關(guān)系式認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)提升；從實(shí)際問題中提煉出二次函數(shù)，通過研究，再回到實(shí)際問題中去，這是一個(gè)跨越.教學(xué)中，為了突破這一難點(diǎn)，可以從二次函數(shù)的圖像入手，將二次函數(shù)的關(guān)系式與其圖像比照著進(jìn)行教學(xué)，由圖像認(rèn)識關(guān)系式，由關(guān)系式認(rèn)識圖像。這種“捆綁式”教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生對借助公式確定對二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向的理解和掌握。而在運(yùn)用二次函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)將知識塊分類后進(jìn)行教學(xué)，這樣效果較好。

1.4 運(yùn)用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解

這是二次函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用。即從函數(shù)的角度審視一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，并根據(jù)直觀圖形，借助計(jì)算器探索函數(shù)值為0的自變量的值，進(jìn)而得出用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個(gè)過程中，應(yīng)通過直觀圖像，研究函數(shù)值與自變量的變化，滲透無限逼近和區(qū)間套的數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2 立足整體設(shè)計(jì)教法

二次函數(shù)的整體性，體現(xiàn)在其圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用上。教材從學(xué)生熟悉的簡單實(shí)際問題出發(fā)，建立二次函數(shù)的概念，立足運(yùn)動、變換的觀點(diǎn)，由特殊到一般，分別探討各種形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，最后以3個(gè)探究性問題為例，探討二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。學(xué)生學(xué)次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的障礙主要體現(xiàn)在解析式、圖像、性質(zhì)的對應(yīng)上，應(yīng)用的主要障礙則是建立二次函數(shù)解析式，并利用解析式解決問題。

2.1 層層遞進(jìn)，系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的一般形式及其變換形式共有六種：（1）y=ax2 （a≠0）；（2）y=ax2+k（a≠0）；（3）y=a（x+h）2（a≠0）；（4）y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5）y=ax2+bx+c （a≠0）；（6）y=ax2+bx（a≠0）。要求學(xué)生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對應(yīng)的性質(zhì)，有一定的難度。教學(xué)時(shí)，應(yīng)層層遞進(jìn)，通過畫示意圖像來說性質(zhì)。同時(shí)，在學(xué)習(xí)這六種形式的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)時(shí)，每節(jié)課都復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)，并板書。這樣，當(dāng)學(xué)到最后一種二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)時(shí)，學(xué)生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關(guān)于二次函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)的知識網(wǎng)絡(luò)。

2.2 策略分類，明晰掌握二次函數(shù)應(yīng)用的方法

二次函數(shù)是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。教材從數(shù)量關(guān)系入手，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而求出最優(yōu)解，研究了面積最大、利潤最大等問題。然后，從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠(yuǎn)、跨欄等與拋物線有關(guān)的問題。這樣的分類（一會兒求關(guān)系式，一會兒不求；一會兒給應(yīng)用問題，一會兒給圖像），對正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小，學(xué)生的思維容易發(fā)生混亂。教學(xué)二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識基礎(chǔ)，按解題策略進(jìn)行分類，有助于學(xué)生理清思路，正確解決問題。

第一類：給二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題，只要將二次函數(shù)的關(guān)系式配方求頂點(diǎn)坐標(biāo)，或令x、y等于0，即可順利解決。

第二類：給應(yīng)用問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，再用關(guān)系式解決問題。比如，教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題，只要分析數(shù)量關(guān)系，列出二次函數(shù)的關(guān)系式，再由二次函數(shù)的關(guān)系式即可解決問題。

第三類：給二次函數(shù)的圖像列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第27頁的問題2“噴泉”問題，只要從圖像上找到一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的關(guān)系式的一般形式，從而求出二次函數(shù)的關(guān)系式，再由二次函數(shù)的關(guān)系式，即可解決問題。

第四類：建立直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再由圖像求出二次函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)關(guān)系式即可解決問題。

3 著手關(guān)鍵化解難點(diǎn)

3.1 將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式

學(xué)生對前四個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2 （a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）畫圖像、說性質(zhì)相對比較容易，對后兩個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），y=ax2+bx（a≠0）畫圖像、說性質(zhì)，難度就大得多。因?yàn)橐獙⑺鼈冝D(zhuǎn)化為y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式――這在一元二次方程解法的教學(xué)時(shí)已有所涉獵。因此，教學(xué)一元二次方程解法時(shí)，就必須注重配方法的教學(xué)，到了這個(gè)階段再增添求二次三項(xiàng)式的最值問題，學(xué)生因?yàn)檎莆樟伺浞降姆椒?，就容易理解和接受了?/p>

3.2 列二次函數(shù)關(guān)系式和應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式

比如，最大效益問題是一元二次方程的利潤類應(yīng)用問題的遷移，關(guān)鍵是把握關(guān)系式“每畝（件、千克）效益（利潤）×畝數(shù)（件數(shù)、千克數(shù)）=總效益（總利潤）”；面積類問題，關(guān)鍵是面積公式；給二次函數(shù)圖像列二次函數(shù)關(guān)系式解決問題，關(guān)鍵是設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式；建立直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)關(guān)系式解決問題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系、設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式；應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是理解關(guān)系式中的字母的意義，看清問題中要求的是關(guān)系式中的哪一個(gè)問題，從而確定方法。

參考文獻(xiàn)：

第3篇：二次函數(shù)范文

一、封閉性問題的開放性改造

以問題狀態(tài)（條件、過程和結(jié)論）的明確程度為依據(jù)，可將數(shù)學(xué)問題分為封閉性和開放性兩個(gè)問題.平時(shí)所見的大部分問題屬于封閉性問題，而開放性問題對于發(fā)展學(xué)生的個(gè)性、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維有著重要意義.對于封閉性問題，如果我們在認(rèn)清題目的實(shí)質(zhì)下對于問題的條件、結(jié)論或者過程予以適當(dāng)修改，則可以使其具有一定的開放性.

題1求函數(shù)f(x)=(x-1)2對稱軸、最值、單調(diào)性.

單純求二次函數(shù)的最值、單調(diào)性，難于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，如果將此題的結(jié)論作為條件，可以改編成開放性問題，不僅調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且使每名學(xué)生的思維能力都得到較大的發(fā)展.

題2老師給出一個(gè)函數(shù)y=f（x），四名學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).

甲：對x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是減函數(shù).

丙：在［2，+∞)上是增函數(shù).

丁：f（0）不是函數(shù)的最值.

如果其中恰好有三名學(xué)生說得正確，請寫出這樣一個(gè)函數(shù).

適當(dāng)放寬限制條件，使得問題存在多種答案，具有一定的開放性，從而調(diào)動了學(xué)生的思維積極性.

題3已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均為實(shí)數(shù)）.

（1）當(dāng)b=1時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x，使f(x)≠0，求a，c滿足的條件；

（2）當(dāng)a+c=0時(shí)，求證：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f(x)=0.

此題是比較典型的二次函數(shù)零點(diǎn)問題，如果能放寬數(shù)學(xué)背景，增加適當(dāng)?shù)膶?shí)際情景，可將此題改編為一道開放性較強(qiáng)的問題.不僅增加了數(shù)學(xué)的趣味性，而且培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力.

題4已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c為非零實(shí)數(shù).甲、乙兩人做一游戲，他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果對任意實(shí)數(shù)x，使f(x)≠0，那么甲獲勝；如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f(x)=0，那么乙獲勝.

(1)甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？

(2)如果a，b，c是任意實(shí)數(shù)，結(jié)果如何？為什么？

二、常規(guī)型問題的探索性改造

以問題解決者的知識經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)分為常規(guī)性問題與探索性問題.平時(shí)所見到的例、習(xí)題大部分是常規(guī)性問題，而探索性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與主動性有著常規(guī)性問題不可比擬的作用，改變常規(guī)問題的條件、結(jié)論或者設(shè)問方式就可以引導(dǎo)常規(guī)性問題改編為探索性問題.

題5已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，當(dāng)a=-130時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考慮到a的任意性，我們可以用逆向思維，運(yùn)用設(shè)問方式，將此題改變?yōu)樘剿餍詥栴}.

題6已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，問是否存在a(a

題7已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

這是一道單純性二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，探究性不強(qiáng)，我們不妨增加已知條件，改編為下述具有一定探究性的問題.

題8已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，是否存在實(shí)數(shù)m，n(m

三、純粹性問題的應(yīng)用性改造

以問題性質(zhì)的數(shù)學(xué)過程（抽象、變換、應(yīng)用）為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)問題分為純粹性問題和應(yīng)用性問題.平時(shí)所見的例、習(xí)題大部分是純粹性問題，而應(yīng)用性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析問題與解決問題能力都有著不可替代的作用.對于一些純粹性問題，如果能夠結(jié)合具體的生活、生產(chǎn)實(shí)踐，賦予一定的實(shí)際情景，則可以將其改變?yōu)閼?yīng)用性問題.

題9求函數(shù)y=x+9x（x>0）的最值.

此題可看做特殊二次函數(shù)y=x-3x2+6(x>0)為載體給予一定的實(shí)際背景，將此題改編為方案優(yōu)化型的應(yīng)用問題.

題10制作一個(gè)容積為18 m3，深為2 m的長方體無蓋水池.若池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，求水池最低造價(jià)？

題11已知函數(shù)y=kx1-xm(k>0)，定義域?yàn)椋?，m）.

(1)求函數(shù)的最值；

(2)當(dāng)0

以y=kx1-xm為載體設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶?shí)際背景的文字表述，可以將此題改編為應(yīng)用性較強(qiáng)的實(shí)際問題.

題12漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，要保證魚群的生長空間.已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空間率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k>0）.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)求魚群年增長量的最大值；

(3)當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大時(shí)，求k的取值范圍.

總之，適當(dāng)改造傳統(tǒng)例、習(xí)題確實(shí)能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，但不恰當(dāng)?shù)母脑觳粌H沒有帶來益處，反而給學(xué)生帶來新的負(fù)擔(dān).因此，哪些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題可以改造，如何改造，改造后如何應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，這些問題需要我們不斷地探索.

第4篇：二次函數(shù)范文

學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的有關(guān)知識后，靈活應(yīng)用這些知識，可以幫助我們解答一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，現(xiàn)以2007年的部分中考題為例介紹，供同學(xué)們參考。

例1 (2007年煙臺市)某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤10元，每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件。

(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10)，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次。

析解：(1)當(dāng)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品時(shí)，每件利潤為[10+2(x-I)]元，每天產(chǎn)量為[76-4(x一1)]件。

因?yàn)槊刻炜偫麧?每件利潤×每天產(chǎn)量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x2+128x+640

(2)要求產(chǎn)品的質(zhì)量檔次，只要求x的值即可

在y=-8x2+128x+640中

因?yàn)閥=1080，

所以-8x2+128x+640=1080

整理．得X216x+55=0

解之，x1=5，X2=11(不合題意，舍去)

所以當(dāng)一天的總利潤為1080元時(shí)，應(yīng)生產(chǎn)第5檔次的產(chǎn)品。

例2 (2007年佛山市)如下圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長BC為8m，寬AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，y軸是拋物線的對稱軸．頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為6m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)一輛貨運(yùn)卡車高4.5m，寬2.4m，它能通過該隧道嗎?

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有0．4m的隔離帶，則該輛貨運(yùn)卡車還能通過隧道嗎?

析解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，要求y關(guān)于x的解析式，應(yīng)找到三組x和y的數(shù)值．

因?yàn)辄c(diǎn)E、點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判斷高為4.5m，寬2.4m的貨車能否從該隧道內(nèi)通過，其實(shí)質(zhì)在于確定隧道的截面內(nèi)，距地面高4．5m的兩點(diǎn)之間的水平距離是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通過；否則，就不能通過。

所以貨車可以通過。

(3)如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道，且在隧道正中間沒有O．4m的隔離帶，那么要判斷這輛貨車是否可以順利通過，只要確定隧道的截面內(nèi)，距地面高4．5m的兩點(diǎn)之間的水平距離是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通過；否則，就不能通過。

所以如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道，且在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶．則這輛貨車不能順利通過。

例3(2007年貴陽市)某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格調(diào)查，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高l元，平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價(jià)x(元／箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價(jià)x(元／箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。

(3)當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

析解：(1)當(dāng)每箱的銷售價(jià)為x元時(shí)，它比每箱50元的價(jià)格提高(x-50)元，那么銷售量將減少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)當(dāng)每箱的銷售價(jià)為x元時(shí)，每箱的銷售利潤為(x-40)元，每天的銷售量為y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x2+360x-9600

(3)要問每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤，只要求出x為何值時(shí)w有最大值,為此，應(yīng)把w與x的二次函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方變形。

因?yàn)閣=-3x2+360x-9600

=－3(x-60)2+1200，

又，x≤55，且x

所以當(dāng)x=55時(shí)，w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125．

所以當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得1125元的最大利潤。

練習(xí)

1．(2006年鄂爾多斯市)某產(chǎn)品每件成本10元，在試銷階段每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿紙上描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．

(2)要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為30元，此時(shí)每日銷售利潤是400元。

2．(2007年青島市)某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量w(千克)隨銷售單價(jià)x(元千克)的變化而變化，具體關(guān)系式為：w=-2x+240．設(shè)這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤為y(元)，解答下列問題：

(1)求y與x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y 的值最大?

第5篇：二次函數(shù)范文

一、優(yōu)化方式，提高實(shí)效

1.先練后講，積極參與.講與練關(guān)系的實(shí)質(zhì)就是知與行、理論與實(shí)踐的關(guān)系.光講不練，課堂上聽懂的東西不能鞏固，更不能深化；但講得太多，重點(diǎn)不突出，抓不住要害，也會引起“消化不良”.先練后講，是為了讓學(xué)生聽課更有效率和針對性，讓學(xué)生帶著問題聽課，使其在思想上、行動上、內(nèi)容上先進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).例如，在復(fù)習(xí)的第一環(huán)節(jié)，可以設(shè)置一下基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題：二次函數(shù)y=-3x2+2x-1，二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是.把二次函數(shù)y=2x2-8x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式為，它的圖象是，開口向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是.這樣，可以把基礎(chǔ)概念、定理等習(xí)題化，使函數(shù)圖象的性質(zhì)與變換規(guī)律得到體現(xiàn).

2.用好教材，用活課本.在復(fù)習(xí)時(shí)，首先應(yīng)該重視課本知識的復(fù)習(xí).因?yàn)檎n本是數(shù)學(xué)知識的載體，中考的試題也是在課本知識的基礎(chǔ)上引申而淼.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把知識重點(diǎn)、難點(diǎn)前后聯(lián)系，重新組合，靈活而又不拘一格地駕馭教材，既發(fā)揮例、習(xí)題的示范性、典型性，又使解題涉及的知識和方法得到延伸，使學(xué)生從多方面感知數(shù)學(xué)知識和方法，提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力.挖掘課本例、習(xí)題的功能，可以從以下方面入手：（1）改變題目形式（如變解答題為選擇題或填空題）；（2）條件與結(jié)論交換或部分交換；（3）增加條件，探索新的結(jié)論；（4）改變題目條件，對結(jié)論進(jìn)行推廣與引申；（5）一題多解或多題一解；（6）類比編題；等等.

3.精講例題，舉一反三.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，例題的選擇，應(yīng)具備代表性和典型性，能突出重點(diǎn)，反映學(xué)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)最主要、最基本的內(nèi)容和要求.對例題進(jìn)行分析和解答時(shí)，要注意例題之間的內(nèi)在聯(lián)系，可用一題多變、一題多解、一圖多用進(jìn)行講解.這樣，串起來的題目比較多，縱向、橫向聯(lián)系的知識點(diǎn)比較多，學(xué)生掌握的知識也就比較系統(tǒng)、全面，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)知識從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變.

4.結(jié)合考點(diǎn)，分析試題.在備考中選擇訓(xùn)練題時(shí)，歷年中考試題是最佳選擇.教師要將其歸類，按考查知識點(diǎn)、解題方法等進(jìn)行研究，結(jié)合課本的習(xí)題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、拓展，然后分類給學(xué)生進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練，使學(xué)生圍繞考點(diǎn)，做到舉一反三，觸類旁通.

5.在解題教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)的觀念、思想和方法是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要組成因素，是數(shù)學(xué)科學(xué)的“靈魂”，在促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展中具有決定性的作用，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的主觀手段.學(xué)生一旦把數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的思維和行為方式，就能獲得智能發(fā)展.能否運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題關(guān)系到中考的成敗.因此，在復(fù)習(xí)過程中，不能只在乎做了多少練習(xí)題，更重要的是對所學(xué)知識進(jìn)行梳理，對推理論證及處理問題的思想方法進(jìn)行總結(jié)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

二、及時(shí)反饋，促進(jìn)教學(xué)

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要善于利用課堂教學(xué)反饋，把學(xué)生的錯解作為反面教材，引導(dǎo)學(xué)生反思糾錯，加深學(xué)生對此類問題的理解，避免重蹈覆轍，提高學(xué)生解題的正確率，從而提高復(fù)習(xí)教學(xué)效果.例如，拋物線y=x2-2mx+m+6與x軸交點(diǎn)為（p，0），（q，0），求（p-1）2+（q-1）2的最小值.有的學(xué)生這樣做：（p-1）2+（q-1）2=[（p+q）2-2pq]-2（p+q）+2=4m2-6m-10=4（m-34）2-494，所以當(dāng)m=34時(shí)，可求得最小值為-494.事實(shí)上，當(dāng)m=34時(shí)，Δ

第6篇：二次函數(shù)范文

〔中圖分類號〕 G633.62 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）02—0089—01

我們知道，二次函數(shù)是一個(gè)極為重要的初等函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多問題都可以借助于二次函數(shù)來解決.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知它有這樣的性質(zhì)：對于二次函數(shù)f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，則Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，則f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函數(shù)f（x）= ax2＋bx＋c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ=b2－4ac>0.

下面應(yīng)用上述性質(zhì)來證明一些不等式.

一、用性質(zhì)（Ⅰ）來證明不等式，就是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，并使得f（x）≥0，從而由Δ≤0推出所需證的不等式

例1：（柯西不等式）設(shè)a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為任意實(shí)數(shù)，求證（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)，等號成立.

證明：作關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.

（1） 若a12+a22+…+an2=0，則a1=a2=…=an=0 ，顯然不等式成立；

（2） 若a12+a22+…+an2≠0，則有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.

當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)，等號成立.

二、應(yīng)用性質(zhì)（Ⅱ）來證明不等式，就是把要證明的不等式表示成關(guān)于某一字母的二次三項(xiàng)式（使二次項(xiàng)系數(shù)大于零），再推證其Δ≤0，由此判定所要證的不等式成立

例2：設(shè)x、y、z∈R，求證：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

證明： 設(shè)f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是關(guān)于x的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

例3：求證：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

證明：設(shè)f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是關(guān)于a的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零，則Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

例4：設(shè)x、y、z∈R，且＋＋＝，求證x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

證明： 設(shè)f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是關(guān)于x的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =

-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

三、應(yīng)用性質(zhì)（Ⅲ）來證明不等式，就是構(gòu)造一元二次函數(shù)，再推證其一元二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由Δ=b2－4ac>0判定所要證的不等式成立

第7篇：二次函數(shù)范文

一、進(jìn)一步深入理解二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

1.已知f（x）=x2+x+2，求f（x+1）。

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

2.設(shè)f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）。

這個(gè)問題可以理解為，已知對應(yīng)法則f和定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素x的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6。

（2）變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而f（x）=x2－6x+6。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖象

在高中階段函數(shù)單調(diào)性是重點(diǎn)，高考占很大比例，學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，二次函數(shù)是基礎(chǔ)，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，從函數(shù)觀點(diǎn)用定義研究對稱軸，并給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。比如：

1.畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2－1

（2）=x2+2x－1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系，掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

2.設(shè)f（x）=x2－2x－1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象。

解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1時(shí)取最小值－2。

當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－2

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=f（t）=t2－2t－1

當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t2－2

（函數(shù)圖象略）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般的，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域，以求培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想。

三、二次函數(shù)的知識可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

第8篇：二次函數(shù)范文

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)；圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象位置是由系數(shù)a、b、c決定的.對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查一直是中考命題的傳統(tǒng)題目，解決此類問題的方法是數(shù)形結(jié)合，這也是解決函數(shù)問題極為重要的方法。

一、圖象的識別

【例1】 （2006•福州）已知實(shí)數(shù)s、t滿足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函數(shù)y=x2+x-2006的圖象大致是（）

【分析】 依題意得s、t是方程x2+x-2006=0的兩實(shí)根，由求根公式可得兩根一正一負(fù)，故可能是A、B.又 ，

拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)。解：B.

【小結(jié)】 這是一道結(jié)合一元二次方程考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的試題.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，當(dāng)y＝0時(shí)，即為一元二次方程，如果此方程有兩不同實(shí)根，則二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

【例2】 已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，OA=OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個(gè)字

母的等式或不等式：① =-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正確的序號是 .

【分析】 從圖象中易知a>0，b

由圖象知（-1，a-b+c）在第二象限， a-b+c>0，④正確；設(shè)C（0，c），則OC=|c|， OA=OC=|c|， A（c，0）代入拋物線得ac2+bc+c=0，又c≠0，ac+b+1=0，故②正確.

解：正確的序號為①②③④.

【小結(jié)】 我們研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的時(shí)候，首先要明白二次函數(shù)圖象與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸與系數(shù)a、b、c的關(guān)系.

【例3】 （2006•武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且00，其中正確結(jié)論兩個(gè)數(shù)是（ ）.

【分析】 這是一道沒給圖象的題，由已知條件可以大致畫出如下圖所示的圖象， 0

在第一象限，又對稱軸為直線x=-1， （-3，9a-3b+c）在第二象限，故①9a-3b+c>0正確； =-1，

b=2a， b-a=2a-a=a>0. b>a>c，故②不正確；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ③正確；故答案為2個(gè)。

【小結(jié)】 將“數(shù)”轉(zhuǎn)達(dá)化為“形”是本題的難點(diǎn)，將等量與不等量有機(jī)的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

二、性質(zhì)的應(yīng)用

【例4】 （2006•山東棗莊）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx+ 與y=x2-mx- ，

這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn).

（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)；

（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），試求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，對于經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小？

【分析】 解第（1）問時(shí)用b2-4ac是否大于0即可判斷；解（2）時(shí)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入第（1）問求出的結(jié)果即可；解（3）時(shí)根據(jù)對稱軸和開口方向可以判斷.

解：（1）對于關(guān)于x的二次函數(shù)y= ， =-m2-2

此函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn).

對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx-=3m2+4>0，

此函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為：y=x2-mx-

（2）將A（-1，0）代入y=x2-mx- 得1+m- =0，整理得m2-2m=0， m=0或m=2.

當(dāng)m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）.

當(dāng)m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）.

（3）當(dāng)m=0，y=x2-1，拋物線開口向上，對稱軸為x=0，

當(dāng)x

當(dāng)m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，拋物線的開口向上，對稱軸為x=1，

當(dāng)x

第9篇：二次函數(shù)范文

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；概念；圖像；教學(xué)

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，在中招考試中也占據(jù)著非常重要的地位，同時(shí)，學(xué)好二次函數(shù)也為高中階段二次三項(xiàng)式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須認(rèn)真搞好二次函數(shù)教學(xué)，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)不好。

一、厘清概念，區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系

要想弄懂二次函數(shù)，學(xué)好二次函數(shù)，首先必須，厘清二次函數(shù)的概念，并在厘清概念的基礎(chǔ)上，區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系。為了幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)教師可以巧妙引入生活當(dāng)中的問題。例如：圓桌桌面的半徑為R，其面積為S，請寫出圓桌桌面面積的表達(dá)式。其實(shí)這個(gè)式子學(xué)生們并不陌生，他們順手就可以寫出來：S=лR2。在這個(gè)式子的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師就可以生發(fā)開來，引入二次函數(shù)的關(guān)系式：y=ax2+bx+c（c≠0），并概括之處，形如上面的式子就是二次函數(shù)。這樣就將二次函數(shù)的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數(shù)不再神秘，同時(shí)也引發(fā)了學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣。在學(xué)生完整掌握概念的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師還要將二次函數(shù)的定義域做出明確的界定，讓學(xué)生充分明白x和y之間的關(guān)系不單是方程式，它還表達(dá)了兩個(gè)未知數(shù)之間的變量關(guān)系，也就是說用一個(gè)未知數(shù)可以表達(dá)另一個(gè)未知數(shù)。在上面兩個(gè)式子中，R和x是自變量，S和y就是R和x的函數(shù)，S和R之間是函數(shù)關(guān)系，y和x之間也是函數(shù)關(guān)系。通過這樣的引導(dǎo)以及函數(shù)關(guān)系式的互相比較，學(xué)生就能夠清楚明白方程式與函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。

二、弄懂圖像，理解圖像和函數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)圖象也是學(xué)次函數(shù)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一，在學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分認(rèn)識到二次函數(shù)圖象的作用，通過引導(dǎo)學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像，加深二次函數(shù)圖象和二次函數(shù)之間關(guān)系的理解，這樣不但能夠幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生建立清晰的二次函數(shù)坐標(biāo)影像，在遇到任何二次函數(shù)時(shí)，都能夠在頭腦中建立二次函數(shù)圖像，并且能夠準(zhǔn)確描述二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向以及對稱軸等內(nèi)容，只有這樣，學(xué)生才能夠真正做到掌握二次函數(shù)的本質(zhì)特征。在學(xué)生建立二次函數(shù)和圖像之間的關(guān)系基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師還要引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)的變化進(jìn)行認(rèn)真的分析和研究，能夠從各種發(fā)生變化的二次函數(shù)圖像中發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡，從而緊緊抓住二次函數(shù)的主要特征，變換各種角度對二次函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)的觀察，找到解決問題的切入點(diǎn)，從而輕松解決問題。

三、巧用技術(shù)，提高推斷能力

初中階段是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期，也是邏輯思維能力初步建立和不斷發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，而數(shù)學(xué)又是學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)學(xué)科，為此數(shù)學(xué)教師要在二次函數(shù)教學(xué)過程中努力培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的推斷能力。但是，數(shù)學(xué)教師要充分認(rèn)識到，邏輯思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)漫長的過程，是在各種教學(xué)手段綜合運(yùn)用的基礎(chǔ)上慢慢培養(yǎng)的，而在各種教學(xué)手段當(dāng)中，現(xiàn)代技術(shù)的巧妙利用無疑是當(dāng)前教學(xué)中最好的教學(xué)手段。無論是二次函數(shù)的概念，還是二次函數(shù)的圖像，都是相當(dāng)抽象的內(nèi)容，特別是二次函數(shù)圖像的建立，更是難以靠數(shù)學(xué)教師描述和板書解決，而現(xiàn)代技術(shù)手段的利用就恰當(dāng)?shù)亟鉀Q了這一難題，不但可以讓學(xué)生通過直觀的圖像理解概念，引發(fā)學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣，同時(shí)還可以有效增加整個(gè)課堂的知識容量，從而不斷提高學(xué)生的推斷能力。例如：數(shù)學(xué)教師可以通過現(xiàn)代技術(shù)手段展示y=x2、y=x2-a、y=x2+a等二次函數(shù)圖像變化的情況，然后組織學(xué)生總結(jié)其中圖像變化的特點(diǎn)，總結(jié)變化的規(guī)律。然后在此基礎(chǔ)上加以引申，讓學(xué)生描述出其他二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn)，或者讓學(xué)生自己繪制不同的二次函數(shù)圖像。通過現(xiàn)代技術(shù)手段以及學(xué)生自己動手繪制不同二次函數(shù)圖象，可以幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)圖像變化的規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

四、層層鋪開，展示多樣化手法

學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，也不是一種方法就能夠解決的，它必須依靠數(shù)學(xué)教師采取多樣化的教學(xué)手段進(jìn)行慢慢培養(yǎng)。因此，在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師首先必須認(rèn)真分析教材，并在吃透教材的基礎(chǔ)上恰當(dāng)分析究竟采用什么樣的教學(xué)手段，是使用一種教學(xué)手段，還是使用多種教學(xué)手段。切不可在沒有進(jìn)行認(rèn)真分析的前提下多種手段一起上，這樣只能導(dǎo)致課堂的混亂，也無法達(dá)到提高學(xué)生成績的目的。為了加深學(xué)生對二次函數(shù)的理解，數(shù)學(xué)教師可以通過多種教學(xué)手法展示二次函數(shù)的三種形式：一般式（y=ax2+bx+c（c≠0））、頂點(diǎn)式（y=a（x+m）2+n）以及雙根式（y=（x-x1）（x-x2）），然后針對這三種形式的解析式以及圖像變化層層鋪開，并且通過各種變式進(jìn)行引申，從而加深學(xué)生對不同二次函數(shù)解析式的理解，并在此基礎(chǔ)上幫助他們尋找不同的解題策略和方法，這樣就能夠不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。通過多種有效的教學(xué)手段，數(shù)學(xué)教師可以培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變的能力，培養(yǎng)其發(fā)散性思維，這樣可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)略二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)理念，達(dá)到深層次理解的目的。

五、小結(jié)

總之，作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容，二次函數(shù)教學(xué)是不容忽視的問題，數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真閱讀教材，吃透原理，通過各種策略和方法有效喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而不斷培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳玉華.關(guān)于初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)思考.數(shù)理化學(xué)習(xí).2009.11.11