數(shù)學建模靈敏度分析精選(九篇)
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第1篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
關鍵詞：生產(chǎn)計劃；數(shù)學模型；線性規(guī)劃；LINGO8.0
中圖分類號：F224 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4117（2012）02-0052-02
線性規(guī)劃（Linear Programming）無論從理論和方法的成熟性，還是從運用的廣泛性，都是運籌學中極具有應用價值的一個重要分支。它在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、服務業(yè)、軍事、運輸和計劃管理等多方面都越來越受重視、越來越得到廣泛的運用。隨著高科技電子計算機的求解軟件的不斷發(fā)展，專門用來解決線性規(guī)劃問題的LINGO軟件已經(jīng)可以解決成千上萬個約束條件和變量大規(guī)模復雜問題，該軟件的出現(xiàn)使得解決線性規(guī)劃問題已變得得心應手。線性規(guī)劃方法是研究在有限的原材料、人力、時間、資金、設備等資源條件下，如何進行資源的優(yōu)化配置和最佳生產(chǎn)計劃，使企業(yè)達到最好的經(jīng)濟效益（利潤最大、產(chǎn)量最多、效用最高）。下面將應用線性規(guī)劃法對企業(yè)如何制定產(chǎn)品生產(chǎn)計劃的問題進行深入的探討。
一、線性規(guī)劃的模型
線性規(guī)劃模型的建立需要以下兩個條件：一是最優(yōu)目標。問題需要完成的目標可以用線性函數(shù)來描述并能夠使用最大值或最小值來進行表示；二是約束條件。這些限制條件可以用決策變量的線性方程組或線性不等式來表示，為達到目標函數(shù)的最佳值提供限制約束。通常線性規(guī)劃的數(shù)學模型一般可以表示成如下所示：
其中式（1）稱為目標函數(shù)，式（2）稱為約束條件。在線性規(guī)劃模型中稱Z為目標函數(shù)；稱xj(j=1,2,…,n)為決策變量；稱cj(j=1,2,…,n)為目標函數(shù)系數(shù)或價值系數(shù)；稱bj(j=1,2,…,m)為資源約束常數(shù)或簡稱右端項；稱aij(j=1,2,…,m;j=1,2,…,n)為約束系數(shù)或技術系數(shù)。
二、線性規(guī)劃在企業(yè)中的應用
為了研究線性規(guī)劃模型在企業(yè)中的應用，接下來以某工廠生產(chǎn)計劃為例建立線性規(guī)劃模型以及應用軟件LINGO進行求解并采用靈敏度分析模型結果。
（一）實例描述
某工廠計劃安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品需要消耗電力、煤炭和勞動力三種資源。已知該工廠可利用電力有200kw，煤炭360t,工時有300小時，每生產(chǎn)一千克產(chǎn)品消耗資源量和能所獲得的利潤見下表1。
問：如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量才能使工廠獲利最大？
（二）模型的分析與建模
由題意可得該問題是典型的線性規(guī)劃問題，我們用 ， 分別表示用于生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量即為決策變量，建立的線性規(guī)劃數(shù)學模型如下所示：
利潤最大： max Z=7X1+12X2
電力約束：4X1+5X2≤200
煤炭約束：9X1+4X2≤360
工時約束：3X1+10X2≤300
非負約束：X1≥0; X2≥0
（三）模型的求解
利用線性規(guī)劃軟件LINGO8.0在該編程區(qū)域中編寫語言建立模型并求解如下圖所示:
model:
max =7*x1+12*x2;
4*x1+5*x2
9*x1+4*x2
3*x1+10*x2
x1>=0; x2>=0:
end
程序編程完之后，選擇LINGO菜單中Solve選項，即可得到如下所示結果：
報告說明：運行1步即找到全局最優(yōu)解，目標函數(shù)最大值為428，變量值x1=20,x2=24.
“Reduced Cost”的意思是縮減成本系數(shù)（最優(yōu)解中變量的此值自動為零），“Row”是結果模型的行號，“Slack or Surplus”的含義為松弛或剩余，也就是限制條件左右兩邊的差值，對于報告中“=”不等式，左邊減右邊的差值稱為Surplus（剩余）。“Dual Price”的含義是影子價格，上面結果報告中Row2的松弛值為0，說明第二行的電力約束條件已達到最大用電能力已為飽和狀態(tài)（200kw）,影子價格為1.36百元，意思是說：電能若每增加1kw，目標函數(shù)利潤便增加1.36百元；報告中Row3的松弛值為84，這表明按照最優(yōu)解（x2=24）安排生產(chǎn)則第三行的煤炭約束條件的最大煤炭提供能力為360t剩余了84t，因此增加該生產(chǎn)線的最大煤炭提供能力對目標函數(shù)的最優(yōu)值不起作用，故影子價格為0；報告中Row4的工時約束已達到最大用時能力已為飽和狀態(tài)（300h）,影子價格為0.52百元表明工時能力每增加1h，利潤將增加52元。
在應用靈敏度分析時，必須要激活靈敏度計算功能才能計算靈敏度值，因此必須通過先選擇Lingo菜單的Options命令，然后再選擇General Solve中的Dual Computations列表框選擇Price and Ranges選項并確定，最后再選擇Lingo菜單的Range命令生成的靈敏度分析報告結果如下：
上面報告說明：第一部分報告結果標題是目標函數(shù)系數(shù)的變化范圍，對于變量x1目標函數(shù)系數(shù)允許下調(diào)范圍為3.4，允許上調(diào)范圍為2.6，因此只要變量x1目標函數(shù)的系數(shù)在3.6~9.6范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)解（x1=20，x2=24）保持不變；變量x2的目標函數(shù)系數(shù)允許下調(diào)范圍為3.25，允許上調(diào)范圍為11.33，因此只要變量x2目標函數(shù)的系數(shù)保持在8.75~23.33范圍內(nèi)時，最優(yōu)解仍不變。這說明當甲、乙兩種產(chǎn)品銷售價格在以上范圍內(nèi)變化時，工廠的生產(chǎn)計劃不需要改變，即改變生產(chǎn)計劃不能增加工廠的利潤。
報告第二部分的標題是約束條件右邊常數(shù)的變化范圍，只要電力、煤炭、工時約束最右邊常數(shù)在150kw
三、結論
在企業(yè)制定生產(chǎn)計劃時，線性規(guī)劃已成為企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營過程中決策制定的的理論依據(jù)，生產(chǎn)計劃安排是否合理將直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟效益。本文主要介紹了線性規(guī)劃的基本理論以及如何建立線性規(guī)劃模型，通過對典型案例的分析與建模，運用線性規(guī)劃lingo軟件進行模型求解分析，并闡述了此軟件對線性規(guī)劃中目標函數(shù)系數(shù)及約束條件右邊常數(shù)的變化對分析造成的影響。應用線性規(guī)劃并配合相關解決此規(guī)劃的軟件進行計算方便易行，為以后再解決分析線性規(guī)劃如何在企業(yè)中安排生產(chǎn)計劃決策問題時提供了有力的科學依據(jù)和方法，具有較大的應用價值和借鑒意義。
作者單位：安徽工業(yè)大學管理科學與工程學院
作者簡介：方利（1984- ），男，安徽亳州人，安徽工業(yè)大學管理科學與工程學院2010級研究生。研究方向：工業(yè)工程，研究課題 “大型鋼鐵企業(yè)產(chǎn)品結構優(yōu)化模型”。
參考文獻：
[1]吳祈宗.運籌學第2版[M].北京:機械工業(yè)出版社,2006.
[2]袁新生,邵大紅,郁時煉.Lingo和Excel在數(shù)學建模中的應用[M].北京:科學出版社,2007.
第2篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
【關鍵詞】線路檢修計劃；優(yōu)化算法；探究；
線路的檢修是為了在一定程度上提高線路使用的靈活性，能讓線路在使用的過程中減少故障的發(fā)生，提高工作效率。但是，110-500kV線路在沒有使用的情況下，會導致器械使用的可靠性降低，在電力機械中，不同的環(huán)節(jié)都需要進行檢修，以提高整個電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，促進生產(chǎn)效率的提高。現(xiàn)在，電力技術的發(fā)展越來越迅速，電力系統(tǒng)實現(xiàn)了獨立運行，所以，對110-500kV線路進行檢修，可以提高電力系統(tǒng)的運行效率，在一定程度上節(jié)省電力資源的使用，可以實現(xiàn)電力系統(tǒng)的綜合化應用。
一、110-500kV線路檢修計劃優(yōu)化算法的分析
現(xiàn)在，110-500kV線路檢修計劃的優(yōu)化算法包括輸電和供電系統(tǒng)的檢修的優(yōu)化算法，其既可以實現(xiàn)共同的檢修目的，同時又可以根據(jù)故障發(fā)生的部位，進行單獨的檢修，可以單獨對輸電線路或者供電線路進行檢修，優(yōu)化算法主要有Benders算法和靈敏度分析的方法。在對110-500kV線路檢修之前應該先運用優(yōu)化算法來確定檢修的可靠性，110-500kV線路檢修計劃的優(yōu)化算法可以通過建立數(shù)學模型，實現(xiàn)檢修的經(jīng)濟性和可靠性。
（一）110-500kV線路檢修的計劃模型分析
110-500kV線路檢修計劃需要考慮很多問題，如果運用建立數(shù)學模型的方法來考慮這些問題，就可以將這些問題都設置成自變量，分析110-500kV線路檢修采用哪種方法更加合適，在多種具有約束性的條件下，分析出最合理的檢修方法。但是，由于110-500kV線路在檢修時會遇到很多復雜的問題，我們在建立數(shù)學模型的時候不可能一一將問題都考慮到，因此，在110-500kV線路檢修之前很難設計出一個全面地數(shù)學模型，在通常的110-500kV線路檢修中，一般是選擇一個要進行檢修的標準然后設計出目標函數(shù)，然后對檢修的條件進行約束。
按照110-500kV線路檢修計劃中的優(yōu)化標準，110-500kV線路檢修計劃設計的數(shù)學模型可以從兩大方面先入手，然后再逐一地分解成小的方向，一般來說，110-500kV線路檢修計劃一般要考慮線路檢修的可靠性和經(jīng)濟性兩大方面。
在設計可靠性標準的函數(shù)時，就可以將110-500kV線路檢修的可靠性作為自變量，其他的條件作為因變量，可以考慮線路在檢修過程中線路的負荷問題、電壓波動的問題等。110-500kV線路檢修的經(jīng)濟性主要是考慮到線路檢修過程中哪些項目會耗費大量的資金，要充分考慮到110-500kV線路在輸電時如果發(fā)生了線路的中斷，會造成一定的經(jīng)濟損失。
例如，在建立110-500kV線路檢修的計劃模型時，要先了解系統(tǒng)最佳的懂時間，從而確定需要調(diào)整的時段t，然后把初始解列為檢修計劃內(nèi)，找到t時段內(nèi)線路檢修的步驟，從調(diào)整對象中任意選取一天線路，通過對其檢修啟動時段的跳幀得到檢修啟動時段的組合，然后從鄰近的選擇評價值中選擇滿足要求的線路，否則就進行重復性的搜索，具體如下圖所示：
（二）110-500kV線路檢修的Benders分解的優(yōu)化算法分析
110-500kV線路檢修過程中要考慮的一大問題就是經(jīng)濟性問題，Benders分解的優(yōu)化算法可以將線路檢修的經(jīng)濟性作為自變量來設計函數(shù)模型，充分考慮到線路檢修時各個部位檢修所需要的資金，也考慮到線路檢修過程中不能正常生產(chǎn)產(chǎn)生的損失，充分考慮到燃料耗費的成本以及停電過程中造成的損失，對這些能夠影響經(jīng)濟性的因素作為因變量，進行約束，從而計算出110-500kV線路檢修要耗費的成本，分析哪種方法的檢修可以最大限度地降低成本。這種方法建立的數(shù)學模型的維度比較高，而且數(shù)學模型具有離散型特點，呈現(xiàn)出非線性的特征，能夠較為客觀地分析各種經(jīng)濟性因素。通過運用這種方法，可以將110-500kV線路檢修要面臨的經(jīng)濟性問題分成幾個子問題逐一進行分析，操作簡單，而且得到的數(shù)據(jù)具有較高的準確性。
例如，在運用110-500kV線路檢修的Benders分解的優(yōu)化算法時，可以先通過設計一個函數(shù)，如果函數(shù)是可行的，則會存在某個Y數(shù)值預知對應，然后將函數(shù)分成幾個部分逐一進行分析。第一種情況，如果函數(shù)是無解的，則函數(shù)的有誤界最優(yōu)數(shù)值或者無可解，其算法終止。如果函數(shù)的子問題有無界的最優(yōu)值，就能夠達到一個界限值。如果函數(shù)的子問題存在有限的最優(yōu)值，就可以得到一個最優(yōu)的極點。其公式如下所示：
（三）110-500kV線路檢修的靈敏度分析法探究
110-500kV線路檢修的靈敏度分析法采用的是電力系統(tǒng)的負荷供應能力的最大化的檢修為目標的，其是將一個固定的檢修方法提出，然后建立數(shù)學模型，運用數(shù)學中的二元方法分析理論，采用數(shù)學模型的設計分析出電力系統(tǒng)的負荷供應能力，分析出110-500kV線路在每一個電力系統(tǒng)中的啟動和停止的靈敏程度，分析出110-500kV線路檢修運用哪種方案最合適。這種方法主要是基于110-500kV線路檢修提高線路的性能方面考慮的，故而通過這種優(yōu)化方法的計算，再進行110-500kV線路檢修，可以最大化的提高線路的性能。110-500kV線路檢修靈敏度分析法操作比較簡單，而且不用進行復雜地運算，但是，110-500kV線路檢修的靈敏度分析法主要是針對線路的可靠性的，所以，在進行線路檢修的時候可能會耗費大量的資金，而且在設計數(shù)學模型的時候，這種方法只是得到一個大約的范圍，不會將數(shù)值精確化，數(shù)學建模的精確性低，所以得到的不是最佳的檢修方法。
二、110-500kV線路檢修優(yōu)化方法的研究方向分析
現(xiàn)在，110-500kV線路檢修計劃的優(yōu)化方法一般采用的數(shù)學建模的方法，但是，數(shù)學建模的方法還是不能提供精確的數(shù)值，而且需要進行大量的數(shù)學計算，計算的效率低，容易出錯，影響整個優(yōu)化方法的實施。因此，在110-500kV線路檢修之前，應該考慮到優(yōu)化數(shù)學模型，而且盡量讓計算變得簡單，不要出現(xiàn)復雜的運算，提高計算的速度，Benders的分解運算方法和靈敏度分析的方法可以在一定程度上實現(xiàn)互補，共同促進110-500kV線路檢修效率的提高。在接觸管理的線路中，獨立系統(tǒng)的運行商以及電力部門的電力供應商都需要設計出更好的110-500kV線路檢修的方法，滿足電力的及時供應。很多110-500kV線路都在室外，所以在進行線路檢修的過程中也要考慮到外部環(huán)境，如果遇到惡劣的天氣狀況，勢必會影響檢修的效果，因此，在對110-500kV線路檢修計劃的優(yōu)化算法進行研究時，也應該將外部環(huán)境作為一個重要的條件進行分析。
三、結束語
110-500kV線路檢修計劃優(yōu)化算法的分析可以提高線路在使用中的安全性，線路在使用過程中不會出現(xiàn)任何的故障，并且能夠提高線路供電的效率，在一定程度上降低事故的發(fā)生，而且能夠節(jié)約成本，使成本最大化的節(jié)約，提高供電企業(yè)的經(jīng)濟效益。110-500kV線路檢修時應該充分考慮到檢修的相關問題，盡量提高線路檢修的效率，降低檢修的成本，因此，在110-500kV線路檢修之前就要進行優(yōu)化，在設計可靠性標準的函數(shù)時，就可以將110-500kV線路檢修的可靠性作為自變量，其他的條件作為因變量，可以考慮線路在檢修過程中線路的負荷問題、電壓波動的問題等。Benders分解的優(yōu)化算法可以將線路檢修的經(jīng)濟性作為自變量來設計函數(shù)模型，充分考慮到線路檢修時各個部位檢修所需要的資金，也考慮到線路檢修過程中不能正常生產(chǎn)產(chǎn)生的損失。
參考文獻：
第3篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
關鍵詞：醫(yī)療衛(wèi)生服務系統(tǒng)；系統(tǒng)動力學
引言
隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展和人們生活質(zhì)量的提高，對醫(yī)療衛(wèi)生服務的要求也隨之增加，并且需求趨向多元化，但是目前我國醫(yī)療衛(wèi)生服務仍存在很多的不足，“看病難，看病貴”的問題一直沒有得到根本性解決，人們往大醫(yī)院扎堆的現(xiàn)象仍然很嚴重，醫(yī)保不能合并，大病醫(yī)療問題，仍然是現(xiàn)在亟待解決的問題，要有效的解決這些問題，就要從整體上分析醫(yī)療衛(wèi)生服務體系，用系統(tǒng)的科學的方法研究。
衛(wèi)生服務系統(tǒng)是一類具有多變量、多回路和非線性的反饋系統(tǒng)，組成部分之間因果關系復雜，并且內(nèi)部運行機理復雜目前尚未清楚，需要我們用動態(tài)的長期的觀點研究，而系統(tǒng)動力學是一門研究系統(tǒng)反饋結構與行為的學科，擅長處理定性與定量結合的問題，和一些數(shù)據(jù)不足的社會系統(tǒng)問題。醫(yī)療衛(wèi)生服務系統(tǒng)單元應保證三個基本要素：一是系統(tǒng)構建科學，二是與之相適應的管理制度合理，三是機構與制度適應所處的外部環(huán)境，而系統(tǒng)結構是關鍵因素[1]。
1.研究對象和方法
1.1研究對象
研究對象為山東省城市醫(yī)療機構，一般包括縣級以上衛(wèi)生部門所屬醫(yī)療機構以及社區(qū)衛(wèi)生院等基層醫(yī)療衛(wèi)生機構。
1.2研究方法
參考系統(tǒng)動力學方法，構建模型，通過對文獻的研究和理論分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中現(xiàn)有問題，形成理論框架，界定主要因素，劃定衛(wèi)生資源配置系統(tǒng)邊界，研究系統(tǒng)內(nèi)主要因素間的因果關系，利用系統(tǒng)動力學的特點進行動態(tài)研究，構建出系統(tǒng)行為反饋結構，形成系統(tǒng)因果關系圖。將可以量化的指標進行篩選區(qū)分出研究該系統(tǒng)的變量、輔助變量、常量和流量繪制系統(tǒng)流圖。將流圖通過軟件模型化，設置模型初始值，構建模型變量間函數(shù)關系，進行衛(wèi)生資源配置系統(tǒng)模型模擬，記錄實驗結果并分析，將模型輸出結果與真實值對比檢驗模型真實性同時對敏感性進行檢驗，根據(jù)檢驗結果對模型參數(shù)進行調(diào)整，提高模型的信度和效度。并且可以通過改變衛(wèi)生服務系統(tǒng)模型的一些參數(shù)和結構，模擬政策實施的效果，對政策的實施起到模擬仿真和評估的作用。本文使用美國Ventana公司編制的系統(tǒng)動力學軟件Vensim PLE進行模型處理。
1.3研究步驟
建模的步驟包含的問題和使用的主要工具
1.明確問題，確定系統(tǒng)的邊界選擇問題，關鍵變量，時限，參考模式
2.提出動態(tài)假說現(xiàn)有的理論解釋，聚焦于系統(tǒng)的內(nèi)部，繪圖（包括系統(tǒng)邊界圖、子系統(tǒng)圖、因果回路圖、存量流量圖、政策結構圖以及其他可以利用的工具）
3.寫方程明確決策規(guī)則，確定參數(shù)、行為關系和初始化條件，測試目標和邊界的一致性
4.測試與參考模式比較，極端條件下的強壯性分析，靈敏度，其他測試
5.政策設計與評估具體化方案，設計政策，“如果-則”分析，靈敏度分析，政策的耦合性
[2]
2.模型建立
2.1建模目的
針對山東省醫(yī)療服務系統(tǒng)在衛(wèi)生服務的需要和需求以及衛(wèi)生服務供給和利用兩方面的現(xiàn)狀和存在的問題進行分析，分析各因素間相互制約相互促進的因果反饋關系，研究影響我省醫(yī)療衛(wèi)生服務系統(tǒng)發(fā)展的因素，結合歷史數(shù)據(jù)對未來山東省醫(yī)療衛(wèi)生服務體系發(fā)展趨勢進行預測，然后提出對策建議。
2.2系統(tǒng)邊界
城市醫(yī)療衛(wèi)生服務是一個動態(tài)復雜反饋系統(tǒng)，它與人口、經(jīng)濟和社會等有著密切的關系。同時這些因素之間也相互影響，構成因果關系。其中人口包括人口數(shù)量、出生率、死亡率、人群患病率等。經(jīng)濟包括衛(wèi)生服務投入與產(chǎn)出以及區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展情況等。社會包括醫(yī)療保險政策、醫(yī)療保障政策。
3.結論
3.1采用系統(tǒng)動力學建模的優(yōu)點
與經(jīng)濟計量建模方法不同、，系統(tǒng)動力學建模以信息反饋原理為基礎，可以有效模擬系統(tǒng)未來的行為，解決系統(tǒng)運行的準確性和方向性為題，因此非常。適用于廣泛存在多重反饋，結構，而難于進行數(shù)據(jù)觀測的復雜系統(tǒng)的仿真和模擬[3]。系統(tǒng)動力學模型是一種直接反映因果機制的模型，它不以準確估計系統(tǒng)參數(shù)為目的，強調(diào)系統(tǒng)動態(tài)變化中的行為內(nèi)生，體現(xiàn)了事物發(fā)展過程中內(nèi)、外因關系的辯證觀點[4]。系統(tǒng)動力學是系統(tǒng)科學理論與計算機仿真緊密結合的一門學科，許多學科領域已經(jīng)有了不少運用輔助軟件建模的成功實例，使用軟件輔助建模，使建模過程直觀化，模型結構調(diào)整方便。
3.2研究的意義
將醫(yī)療衛(wèi)生服務體系與系統(tǒng)科學理論結合豐富了系統(tǒng)科學理論的應用領域，國內(nèi)外關于醫(yī)療衛(wèi)生服務的研究多是定性或者從某一局部進行的，很少利用系統(tǒng)動力學從系統(tǒng)的角度整體研究醫(yī)療衛(wèi)生服務的內(nèi)部結構，因此將系統(tǒng)動力學與醫(yī)療衛(wèi)生服務結合也豐富了醫(yī)療衛(wèi)生服務的研究方法。
利用系統(tǒng)動力學模型對城市醫(yī)療衛(wèi)生服務系統(tǒng)進行政策模擬，通過對系統(tǒng)結構、相關制度、衛(wèi)生政策與外部環(huán)境等的模擬研究，獲得城市醫(yī)療衛(wèi)生服務系統(tǒng)動態(tài)行為特征與內(nèi)部運行機制，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)結構問題的根源和作用機制，提出解決系統(tǒng)結構問題的政策建議。（作者單位：山東科技大學）
參考文獻：
[1] 張鷺鷺，陳群平等.衛(wèi)生資源配置系統(tǒng)性分析[J].醫(yī)院管理雜志，2003，10（6）
[2] 鐘永光，賈曉菁，錢穎等.系統(tǒng)動力學（第二版）[M].北京：科學出版社，2013：20-21
第4篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
關鍵詞：線性規(guī)劃；投資額；靈敏度分析
中圖分類號：F 272 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）02-0009-02
引言
投資問題主要可以劃分為兩個主要方面，一個是投資項目的組合，在多個項目中選擇效益最大的項目組合；另一個是如何將既定的資金下分配給已選擇的投資項目，即確定每個項目的投資額。有很多學者用不同的方法對第一個投資問題進行了研究，如差異系數(shù)變型模型、均衡理論模型、均值方差模型、風險價值法等等，都是用于求使期望收益最大或風險最小的最佳的投資組合，即解決如何選擇項目的問題。對第二個投資問題，研究成果很少。本文主要以某個部門的項目投資為例，在已知每個項目的投資方式、投資收益和風險和投資總額的基礎上，運用線性規(guī)劃的方法研究如何確定每個項目的投資額，以滿足投資者效益最大化或風險最小化的投資目標。
一、線性規(guī)劃模型的評價
線性規(guī)劃是運籌學的一個重要的分支，運用十分廣泛。該方法主要解決在滿足一定約束條件的基礎上，決策變量如何取值，使目標函數(shù)實現(xiàn)最大值的問題。線性規(guī)劃的決策變量是可控的連續(xù)變量，目標函數(shù)和約束方程都是線性的。
基本假設：
1.每種經(jīng)營活動對目標函數(shù)的貢獻是一個常數(shù)；
2.每個決策變量對目標函數(shù)的和約束方程的影響是獨立于其他變量的，目標函數(shù)值是每個決策變量對目標函數(shù)貢獻的總和；
3.決策變量應取連續(xù)值；
4.所有的參數(shù)都是確定的參數(shù)，不含隨機因素。
線性規(guī)劃的標準形式：
maxZ=
st： （i=1，2，….，n）
0 （j=1，2，.…n）
二、問題的提出及解決
現(xiàn)在，用線性規(guī)劃方法來確定一公司某部門的不同投資項目投資額。
該部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內(nèi)考慮以下的項目投資：
項目A：從第一年到第五年每年年初都可以投資，當年末能收回本利110%；
項目B：從第一年到第四年每年年初都可以投資，次年末收回本利125%；
項目C：第三年初需要投資，到第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；
項目D：第二年初需要投資，到第五年末收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。
據(jù)測定每次投資1萬元的風險指數(shù)如表一所示：
我們要解決的問題是，如何確定這些項目每年的投資額，從而使得第五年末擁有的資金的本利金額最大；為使第五年末擁有的資金的本利在330萬元的基礎上總的風險系數(shù)最小，又應該怎樣確定這些項目每年的投資額。
對該問題進行分析，可以發(fā)現(xiàn)它滿足線性規(guī)劃的四條基本假設。下面我們用線性規(guī)劃的方法對該問題進行求解。
1.確定變量
設i為第i年初投資于項目j的金額（單位：元），根據(jù)給定條件，將變量列于表2中。
2.約束條件
因為項目A每年都可以投資，并且當年末都能收回本息，所以該部門每年都應該把金子投出去，手中不應該有剩余的呆滯資金，因此，
第一年：該部門年初有資金200萬元，固有x1A+x1B=200；
第二年：因第一年給項目B的投資要到第二年末才能收回，所以該部門在第二年初擁有的資金僅為項目A在第一年投資額所收回的本息110%x1A，固有x2A+x2A+x2D=1.1x1A；
第三年：第三年初的資金額是從項目A第二年投資和項目B第一年投資所收回的本息總和1.1x1A+1.25x1B，固有 x3A+x3B+x3C=1.1x1A+1.25x1B；
第四年：同以上分析，可得x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；
第五年：x5A=1.1x4A+1.25x3B。
另外，對項目B，C，D的投資額的限制有
xiB≤30 （i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100
3.目標函數(shù)
要求在第五年末該部門所擁有的資金額達到最大，即目標函數(shù)最大化，則可以表示為
maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
這樣可以得到如下的數(shù)學模型：
maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
約束條件：x1A+x1B=200；x2A+x2B+x2D=1.1x1A；x3A+x3B+x3C=1.1x1A+
1.25x1B；x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；x5A=1.1x4A+1.25x3B；xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100；xij≥0。
用“管理運籌學”軟件求得此問題的解：
x5A=33.5，x4B=30，x3C=80，x2D=100，x1A=170，x1B=30，x2A=57，x2B=30，x3A=0，x3B=20.2，x4A=7.5。
這時第五年末擁有的資金本利（即目標函數(shù)的最大值）為341.35萬元，用“管理運籌學”軟件所求的結果如圖1。
其中，x1A=x1；x2A=x2；x3A=x3；x4A=x4；x5A=x5；x1B=x6；x2B=x7；x3B=x8；x4B=x9；x3C=x10；x2D=x11
為使第五年末擁有的資金的本利在330萬的基礎上總的風險系數(shù)最小，這些項目每年的投資額的確定方法同上，只是目標函數(shù)發(fā)生了變化，多了一個約束條件，第五年擁有的資金的本利要在330萬元以上，同樣用“管理運籌學”軟件可以求得最優(yōu)解和最小的風險系數(shù)。
三、靈敏度分析
利用“管理運籌學”軟件的計算結果中的對偶價格、目標函數(shù)系數(shù)范圍、常數(shù)項系數(shù)范圍，進行進靈敏度分析。
由對偶價格欄可知，第一年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.664萬元，第一年投資額為200萬元；第二年初增加或減少1萬元，將導致第五年末擁有的資金本利增加或減少1.513萬元，第二年的投資額來自第一年投資于項目A而收回的100%的本利。同樣可知，第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有的資金本利分別增加或減少1.375萬元、1.210萬元、1.1萬元。從第六個至第九個約束方程的對偶價格中可知，如果第一年、第二年、第三年、第四年項目B的投資額的限制放松或收縮1萬元指標，將導致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.055萬元、0萬元、0萬元、0.040萬元。從第十個和第十一個約束方程對偶欄可知，項目C和項目D的投資額的限制放松或收縮1萬元指標，將導致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.025萬元、0.037萬元。
由目標函數(shù)中變量系數(shù)的變化范圍可知，當x5A，x4B，x3C和x2D中的一個變量在此范圍里變化時，即項目A的第一年、項目B的第四年、項目C的第三年、項目D的第二年投資在第五年末的收回本利的百分比中的一個在次范圍里變化時，最優(yōu)解保持不變。超出這個范圍就要重新建模求解。例如在這個范圍變化0≤x5≤1.12，其他的變量保持不變，那么最優(yōu)解不變。當幾個系數(shù)同時變化時要用百分之一百法則來判斷，即各個變量的允許增加或減少的百分比之和，如果小于百分之百的話，最優(yōu)解不變；如果大于百分之一百的話，需要重新建模求解。需要說明的是x1A，x1B，x2A，x2B，x3A，x3B，x4A的系數(shù)都為零，主要是把這些變量的投資回收本利的百分比對第五年的貢獻都體現(xiàn)在約束條件里，而沒體現(xiàn)在目標函數(shù)中，所以沒法用其目標函數(shù)的系數(shù)對其進行收回本利百分比的靈敏度分析。
以常數(shù)項變化范圍一欄可以得到保持對偶價格不變的約束條件中常數(shù)項的變化范圍，當某一個約束條件的常數(shù)項在此范圍里變化而其他約束條件的常數(shù)項不變時，對偶價格不變。例如，第一年初現(xiàn)有資金為190萬元，從圖1中可知，190萬元處于保持對偶價格不變的約束條件的常數(shù)項的變化范圍內(nèi)，故可以從對偶計算出第五年末所擁有的資金的本利總數(shù)為 341.35-（200—190）*1.664=324.71（萬元）；同樣，當變化超過了常數(shù)項的變化范圍，需要重新建模。當幾個約束條件的常數(shù)項同時變化時，則用百分之一百法則來判斷。
第5篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
關鍵詞：生物醫(yī)學數(shù)據(jù)；統(tǒng)計建模；預測模型；心得體會
隨著生物信息技術的飛速發(fā)展，生物醫(yī)學研究領域的數(shù)據(jù)呈幾何級增長。近年來，生物醫(yī)學大數(shù)據(jù)受到學者們的廣泛關注。生物醫(yī)學大數(shù)據(jù)具有典型的“4V”特征：體量巨大（volume）、種類繁多（variety）、實時更新（velocity）、價值隱藏（value）[1]；“3H”特點：高維（highdimension）、高度計算復雜性（highcomplexity）、高度不確定性（highuncertainty）[2]。因此，綜合利用生物學、醫(yī)學、數(shù)學、流行病學、統(tǒng)計學、計算機學等多個學科的方法和手段，從中挖掘“有價值”的信息，為生物醫(yī)學研究提供確鑿有效的證據(jù)，顯得尤為重要。筆者以肺癌全基因組關聯(lián)研究（genome-wideas-sociationstudy，GWAS）為例，結合理論學習和案例實踐的切身體會，淺談利用GWAS數(shù)據(jù)建立肺癌風險預測模型的心得體會。
一、嚴謹?shù)臄?shù)據(jù)質(zhì)量控制體系不容忽視
由于存在檢測、觀察、填寫或錄入錯誤，未經(jīng)數(shù)據(jù)質(zhì)控的原始數(shù)據(jù)極可能含有一些異常，甚至錯誤的觀測值。在研究設計之初，便要盡可能考慮規(guī)避產(chǎn)生錯誤數(shù)據(jù)。另外，統(tǒng)計建模之前，仍然必須對原始數(shù)據(jù)再次進行質(zhì)量控制。在GWAS中，要同時對行（樣本）、列（位點）進行質(zhì)量評價。例如，刪除次等位基因頻率低于5%、缺失率超過5%或哈代不平衡的位點；刪除分型失敗率超過5%、問卷性別與遺傳性別不一致、存在血緣關系、屬于離群值的樣本[3]。另外，同時需要對流行病學問卷及臨床數(shù)據(jù)進行核查。只有對數(shù)據(jù)進行清理后，才能用于后續(xù)關聯(lián)分析、統(tǒng)計建模。
二、合理的建模方法和策略值得精雕細琢
對于GWAS高維數(shù)據(jù)，合理的方法和策略不僅要考慮統(tǒng)計學性能（一類錯誤、檢驗效能、預測精度），還需要考慮分析效率（計算速度）。因此，研究者應該要深入思考，為研究項目量身定制一套“合理”的方法和策略。然而，現(xiàn)有的統(tǒng)計學模型和方法往往都有相應的應用條件。實際數(shù)據(jù)由于其變量結構的復雜性，不一定完全滿足所有的應用條件。并且，簡單的算法速度快，但統(tǒng)計性能相對低；復雜算法需要犧牲計算速度來提升統(tǒng)計性能。因此，研究者可能需要制定多個備選方案。結合建模步驟，筆者將從以下幾個方面，淺談個人心得體會。1.初始模型：一般擬合logistic回歸模型評價肺癌風險。模型中往往需要納入一些協(xié)變量，例如：年齡、性別、吸煙、人群分層等。一般參考以下納入原則：（a）在模型中有統(tǒng)計學意義（P≤0.05）；（b）即便在模型中無統(tǒng)計學意義，但絕大多數(shù)同類研究顯示其是公認的影響因素。某些協(xié)變量可能是位點的混雜因素，例如人群分層。如果GWAS中忽視調(diào)整混雜因素的影響，則有可能導致誤報噪音位點的一類錯誤膨脹，或識別致病位點的檢驗效能降低[4]。此外，研究者還需要考察協(xié)變量進入模型的形式。一般而言，無序分類變量以啞變量形式進入模型。當某些類別樣本量特別小，需要進行類別合并。有序分類變量、連續(xù)性變量則需要考慮是否以非線性的形式進入模型。一種最簡單的方式是，將連續(xù)性變量轉(zhuǎn)化為有序分類變量，并以啞變量形式進入模型。如果啞變量各組的系數(shù)呈現(xiàn)線性遞增的趨勢，則提示原始變量與結局變量間存在線性關系。否則，可采用啞變量、樣條函數(shù)等方法處理非線性關系。2.因素篩選：研究者需要從GWAS數(shù)據(jù)50萬位點中篩選出肺癌相關位點，加入初始模型，以提高模型的預測精度。常規(guī)做法是，在初始模型中逐個納入位點，對位點的主效應進行假設檢驗。因檢驗次數(shù)達50萬次，研究者必須要考慮多重比較所致的一類錯誤膨脹。常見一類錯誤控制方法有Bonferroni法和FDR法。前者較為嚴格，后者較為寬松。GWAS識別位點一般采用“寧缺毋濫”的原則，傾向于采用嚴格的校正方法。除此之外，研究者還要在多個獨立的人群中驗證初篩的位點。如果位點在多個人群中都顯示與結局存在統(tǒng)計學關聯(lián)，則認為該位點是潛在的影響因素。除基因位點主效應外，研究者還需要關注基因-基因、基因-環(huán)境交互作用。復雜疾病往由環(huán)境、基因相互影響，共同導致。因此，有必要在模型中對交互作用進行評估。例如，基因-環(huán)境交互作用可以顯著提高肺癌風險預測模型的預測精度[5]。有效的降維策略能夠提高因素篩選的效率。筆者曾采用“信息熵初篩對數(shù)線性模型再篩多因素lo-gistic回歸模型確認”的降維策略進行全基因組基因-基因交互作用分析[6]。信息熵方法計算速度快，且其統(tǒng)計量總是不小于對數(shù)線性模型，不會出現(xiàn)漏檢的情況。前兩步可以檢驗次數(shù)將1011次縮減至105次。檢驗次數(shù)降低6個數(shù)量級。最后一步，利用調(diào)整協(xié)變量的logistic回歸模型對關聯(lián)結果加以確認，防止出現(xiàn)假陽性。當然，研究者也可以根據(jù)項目“量體裁衣”，選擇其他降維方法，例如：隨機森林（randomforest）、多因子降維（multifactordimensionalityreduction，MDR）等。3.預測模型：經(jīng)過遺傳因素篩選步驟后，研究者可通逐步回歸、LASSO等方法，建立含有與協(xié)變量、遺傳位點的主效應項、交互作用項的風險預測模型。根據(jù)受試者工作特征曲線（receiveroperatingcharacteristiccurve，ROC）確定一個風險閾值，使得風險預測的靈敏度、特異度同時達到最優(yōu)。若樣本的預測概率≥閾值，則預測該樣本為肺癌。4.模型評價：從統(tǒng)計學的角度，可采用ROC曲線下面積（areaunderROC，AUC）來評價模型的優(yōu)劣[7]。此外，還可以采用交叉驗證的方式評價模型，即：訓練集擬合的預測模型對測試集的樣本進行風險估計，并計算AUC。然而，AUC并非衡量模型的唯一標準。如果預測模型形式簡單，應用便捷，即便AUC稍有遜色，也是優(yōu)秀的模型之一。所以，筆者認為需要綜合考慮，權衡利弊。
三、熟練的軟件操作和編程技能令人事半功倍
扎實的理論基礎固然重要，熟練的軟件操作亦不可或缺。筆者建議研究者不要拘泥于某一軟件，本著“方便原則”利用多個軟件進行數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計建模。根據(jù)筆者的經(jīng)驗，一般不太可能一次性完成建模工作，往往需要不斷調(diào)整分析策略和分析方法。因此，筆者建議研究者適當撰寫一些項目相關的通用程序。如果需要重新建模，只需要修改程序參數(shù)，微調(diào)代碼就可以建立新的預測模型。因此，這就要求研究者“功在平時”以培養(yǎng)編程能力?；诜伟〨WAS風險預測模型的建模體會，筆者建議研究者需要重視數(shù)據(jù)質(zhì)量控制體系、推敲建模方法和策略、培養(yǎng)熟練軟件操作技能。
參考文獻：
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第6篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
為消除人眼視覺差別對彩色圖像濾波的影響，提出了RGB非均勻色彩空間中三基色（紅、綠、藍）的視覺靈敏度的計算方法。濾波算法先用粗糙集理論對噪聲像素做初步判斷，再結合視覺靈敏度修正判斷結果，最后用改進的方向距離濾波器（DDF）濾除噪聲像素。仿真實驗表明，算法在顏色保持、邊緣細節(jié)保護、噪聲濾除率方面均優(yōu)于現(xiàn)有濾波算法；且在各種密度噪聲情況下，其歸一化均方差最小，峰值信噪比最大。
關鍵詞：
視覺靈敏度；RGB空間；自適應；方向距離；矢量濾波；迭代
0引言
人眼對各種顏色變化感知的靈敏度是不同的，而計算機中的彩色圖像一般又是由紅（R）、綠（G）、藍（B）這三種顏色混合而成，因此研究人眼視覺對各種顏色的靈敏度具有重要意義。近年來國內(nèi)外不少學者對視覺靈敏度進行了研究[1-2]，并將其應用于均勻色度空間中的彩色圖像分割、邊緣檢測和圖像評價體系，取得了不少成果[3-6]，但目前還沒有應用于圖像濾波方面。RGB空間為不均勻色度空間，該空間中的三基色[7]的視覺靈敏度鮮有文章論述。本文在CIE1931（commission Internationale de i.eclairage） 色度圖[8]和Macadam橢圓[9]的基礎上應用數(shù)學方法對RGB色彩空間的三基色[9]的視覺靈敏度做了計算，并將該視覺靈敏度應用于圖像濾波。
對于圖像濾波目前國內(nèi)外有如下方法：
1）對彩色圖像的彩色空間中每一維分別濾波，再合并。但這類方法可能產(chǎn)生原圖像中沒有的顏色，故有文獻提出對新產(chǎn)生的顏色進行修復的方法[10-13]。
2）采用矢量濾波方法，如矢量中值濾波器（Vector Median Filter，VMF）[14]、基本矢量方向濾波器（Basic Vector Directional Filter，BVDF）[15]、方向距離濾波器（Directional Distance Filter， DDF）[16]等。這些算法能有效地濾除圖像中的椒鹽噪聲，但在一定程度上會改變非噪聲點的值，使得邊緣和紋理模糊。
3）將噪聲檢測過程和濾除過程分開[17-18]，提出MDDF（Modified DDF）濾波方法，可以保護邊緣細節(jié)，但噪聲檢測時會有誤判，特別對于高密度噪聲，檢測和濾波利用小窗口效果不佳，而加大濾波窗口會導致邊緣細節(jié)丟失，且大大增加了運算時間。
通過分析可知，影響濾波效果的主要因素有：1）對彩色圖像每維分別濾波后再合成，可能產(chǎn)生新噪聲點；2）噪聲檢測時被誤判和漏判的噪聲點過多，導致噪聲點傳播和邊緣細節(jié)丟失；3）濾波時，濾波窗口輸入像素中含有噪聲點，導致噪聲點傳播。
本文提出的濾波算法分噪聲檢測和噪聲濾除兩個過程，主要做了三個方面的工作：
1）在CIE1931色度圖和Macadam橢圓的基礎上用數(shù)學方法對RGB色彩空間的三基色（紅色、綠色、藍色）的視覺靈敏度做了計算。
2）用粗糙集理論對噪聲點做初步判斷。為減少誤判，更好地保護邊緣細節(jié)，結合視覺靈敏度再次進行判斷。根據(jù)圖像被噪聲污染的程度，綜合考慮算法復雜度，適當?shù)剡x取噪聲檢測窗口大小，對于高密度污染的圖像選擇大的檢測窗口，這樣可以防止因窗口內(nèi)全為噪聲點而無法檢測的情況。
3）矢量濾波是用圖中的非噪聲點代替噪聲點，而離噪聲點越近的非噪聲點和該噪聲點位置處原本的像素越接近，因此，濾波窗口應盡量選得小為好，大的濾波窗口使得替代像素點值和原像素點值相差較大，不能很好地保護邊緣細節(jié)，故對于各種密度的噪聲污染的圖像本文均選取3×3大小的濾波窗口；且本文對現(xiàn)有的DDF做了更合理的改進，并作為后續(xù)濾波器對窗口內(nèi)的噪點進行迭代濾除，非噪點值保持不變，大大改善了濾波效果和準確度，并有效防止了噪聲的傳播。
1基于視覺靈敏度的噪聲檢測器
1.1人眼視覺靈敏度
1.1.1色彩理論
紅、綠、藍三色稱為三基色，這三基色按不同比例混合可以產(chǎn)生自然界大多數(shù)顏色。計算機技術中最常用的RGB彩色空間就是基于此設計的。但三基色彩色空間不能夠產(chǎn)生自然界所有顏色，由此在RGB彩色空間上進行數(shù)學變換得到標準彩色系統(tǒng)CIE1931如圖1所示。
CIE彩色系統(tǒng)包含了自然界所有色彩，而RGB彩色空間色彩只是圖1中三角形部分，RGB彩色空間中的三基色（三角形三個頂點）在CIE中對應的坐標：R為（0.640，0.330），G為（0.290，0.600），B為（0.150，0.060）。
人眼對顏色差靈敏度隨顏色的波長而變。1942年Macadam通過實驗表明：在CIE1931色度圖上，對不同位置或者同一位置的不同方向，人眼的顏色辨別能力是不相同的。Macadam對25種色光進行實驗，在每個色光點大約沿5到9個對側(cè)方向上測量人眼剛剛能覺察出顏色差別所對應的色度差，結果得到的是一些面積大小各異、長短軸不等的橢圓，稱為Macadam橢圓，如圖2所示（其中橢圓放大了10倍）。圖2中，不同位置的Macadam橢圓面積相差很大，這表明人眼對不同區(qū)域顏色變化敏感的敏感程度不同。25個Macadam橢圓面積是不相同的，說明CIE1931顏色空間是不均勻的。圖上相等的空間在視覺上不等差，不能正確反映顏色的視覺效果。若想用顏色點之間的距離來表示色差，必須將原來的CIE1931顏色空間進一步修正為能夠適應人眼的均勻顏色空間，即CIE1960UCS均勻顏色空間。而RGB彩色空間也是不均勻的，故只能大致估計其三基色的視覺色彩差。下面用數(shù)學建模的方法給出RGB空間中三基色視覺色彩差的估計值。
1.1.2視覺靈敏度值
人眼對顏色變化的敏感程度是有限的，在RGB彩色空間中，對于一幅N1×N2 大小的彩色圖像I中任一像素點，x（i， j）=[xR（i， j），xG（i， j），xB（i， j）]，若Δi取適當值，x（i， j）在
{[xR（i， j）±ΔR，xG（i， j）±ΔG，xB（i， j）±ΔB]}內(nèi)波動，人眼是無法感覺出其變化的。{[xR（i， j）±ΔR，xG（i， j）±ΔG，xB（i， j）±ΔB]}反映在三維空間中為以x（i， j）為中心，以2ΔR、2ΔG、2ΔB為長寬高的長方體，Δi取人眼剛好能感覺到視覺差別的臨界值。下面用數(shù)學方法給出Δi的確定過程。
根據(jù)加性彩色混合理論[7]，CIE1931中各種顏色的光可認為是380nm～700nm的可見光譜中的光，按不同的比例混合成，而不同波長的波混合疊加后，波長保持不變，三基色附近的Macadam橢圓面積si（i∈{R，G，B}）與CIE1931圖面積SCIE的比為Si/SCIE。因為RGB彩色空間中的顏色只有CIE1931標準彩色系統(tǒng)的顏色的35%，故可近似認為，RGB彩色空間中，三基色處以x（i， j）為中心，以2Δi為邊長的立方體體積占整個RGB彩色空間體積2563 的比例（2Δi）3/2563 與Si/SCIE×35%相等，即：
SiSCIE×35%=（2Δi）32563（1
Macadam給出了25個橢圓的中心坐標和長半軸、短半軸長[8]。為計算方便，但未給出三基色坐標處的Macadam橢圓長短半軸。因為圖中任何位置的顏色變化視覺靈敏度值都不會突變，故可以用如下方法對三基色位置處的橢圓長短半軸進行計算。
由圖2可知，紅綠藍三基色坐標（0.640，0.330）、（0.290，0.600）、（0.150，0.060）分別在橢圓15和橢圓16、橢圓6和橢圓10、橢圓1和橢圓2之間?？煞謩e取三基色附近的兩橢圓長半軸的平均值作為三基色坐標處對應的Macadam橢圓長半軸，兩橢圓短半軸的平均值作為三基色坐標處對應的Macadam橢圓短半軸。
由文獻[10]所給各橢圓數(shù)據(jù)和式（1）可以算得：ΔR=6、ΔG=8、ΔB=5。這三個值將作為噪聲再檢測的閾值。
1.2粗糙集理論
給定論域U，對于任何子集XU，X可稱之為U的一個概念或范疇。定義R為論域中的一種等價關系，當X能用R屬性集確切地描述時，它可用某些R基本集合的并來表達，稱X是R可定義的，否則X為R不可定義的。R可定義集是論域U的子集，它可在知識庫K中被精確地定義； R不可定義集稱為R粗糙集，它不能在知識庫K中被精確地定義。當存在一等價關系R∈ind（K）且x為R精確集，集合XU稱為K中的精確集；當對任何Rind（K）且x為R粗糙集， 則x稱為K中的粗糙集。
假設給定知識庫K=（U，R），對于每個子集XU和一個等價關系R∈ind（K），定義X的R下近似集和R上近似集分別為：R-（X）={x∈U：[x]RX}， R-（X）={x∈U：[x]R∩X≠}。其中[x]R表示基于R的x的等價類。由定義可知， R-（X）是根據(jù)知識R，U中所有一定能歸入X的元素的集合， R-（X）是根據(jù)知識R，U中能和可能歸入X的元素的集合。
1.3 噪聲檢測器
第7篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
【關鍵詞】地下工程測量；測量平差
【Abstract】Underground project is defined measurements pointed out the importance of modern underground engineering survey， briefly addressed the development of measuring instruments; in theoretical development， the emphasis on the control network optimization design， deformation monitoring and data processing， adjustment method are summarized and reviewed， and prospects of modern underground engineering measurement of a number of development direction.
【Key words】Underground engineering measurement; Survey adjustment
1.概述地下工程測量是工程測量學的一個分支，主要是研究地下、水下具體幾何實體的測量描繪和抽象幾何實體的測設實現(xiàn)的理論方法和技術的一門應用性學科。它主要以建筑工程、機器和設備為研究服務對象。眾所周知，工程測量的研究應用領域非常廣泛，而解決每一個工程問題首先得解決地下問題。地下工程是工程測量的基礎，是工程的首要也是重要問題。目前國內(nèi)把工程建設有關的地下工程測量按勘測設計、施工建設和運行管理三個階段劃分；也有按行業(yè)劃分成：線路(鐵路、公路等)地下工程測量、橋隧工程測量、建筑地下工程測量、礦山測量、海洋工程測量等，幾乎每一行業(yè)和地下工程測量都有密切的聯(lián)系。
隨著經(jīng)濟快速發(fā)展、人口高速增長以及人類生態(tài)環(huán)境的惡化，世界各國為了提高土地利用率與節(jié)省土地資源，疏導交通，減少環(huán)境污染等，正積極開發(fā)地下空間。1991年在東京召開的城市地下空間利用國際學術會議上通過了《東京宣言》，提出了：二十一世紀是人類地下空間的開發(fā)利用的世紀。1998年在莫斯科召開了以“地下城市”為主題的地下空間國際會議。在工程實踐方面，瑞典、娜威、加拿大、日本、美國和芬蘭等國在地下空間利用領域已達到相當?shù)囊?guī)模和水平，地下空間的開發(fā)利用，己成為世界性發(fā)展趨勢。我國人口眾多、土地資源相對稀少、城市人口居住密集，開發(fā)利用地下空間也將成為我國發(fā)展的必然趨勢。 然而，我國在地下工程實踐方面起步稍晚，工程實踐理論和技術相對薄弱。
隨著地下空間的開發(fā)利用，地下工程施工實踐越來越多。特別是在地下交通運輸工程(如公路隧道、鐵路隧道、地下鐵道、過河隧道、地下郵政運輸?shù)?、地下垃圾運輸?shù)赖?和地下管溝工程(如給水、排水、雨水、電力、電訊、煤氣、熱力綜合管溝通道)以及礦山測量方面的工程實踐較多。近幾十年來，地下土程暗挖施工技術(如盾構和頂管)在地下鐵道、上下水道、電力通訊、市政公用設施等各種隧道建設中有明顯優(yōu)點，在建造穿越水域、沼澤地和山地的公路和鐵路隧道或水工隧道中，盾構法和頂管法因為它們在特定條件下的經(jīng)濟合理性而得到廣泛采用。
由此可見，地下工程測量在測繪學的發(fā)展以及實際的工程應用中作用是顯著的，開發(fā)利用好地下空間、地下工程是搞好工程測量首要的、基本的問題。
2. 地下工程測量目前的發(fā)展狀況地下工程測量的發(fā)展與現(xiàn)實的測量儀器、技術和工程有著密切的關系。有了新型儀器，如何盡快應用到實際工程中；反過來，有了新的工程，如何開發(fā)新的測量儀器、研究新的測量技術與方法，來滿足新工程的特殊要求。如此反復，推動著地下工程測量向前發(fā)展。因此理論方法和測量儀器的發(fā)展總是相輔相成的。
2.1地下工程測量理論方法的發(fā)展。
2.1.1控制網(wǎng)的優(yōu)化設計。網(wǎng)的優(yōu)化設計方法有解析法和模擬法兩種。解析法是基于優(yōu)化設計理論構造目標函數(shù)和約束條件，解求目標函數(shù)的極大值或極小值。一般將網(wǎng)的質(zhì)量指標作為目標函數(shù)或約束條件。網(wǎng)的質(zhì)量指標主要有精度、可靠性和建網(wǎng)費用，對于變形監(jiān)測網(wǎng)還包括網(wǎng)的靈敏度或可區(qū)分性。對于網(wǎng)的平差模型而言，按固定參數(shù)和待定參數(shù)的不同，網(wǎng)的優(yōu)化設計又分為零類、一類、二類和三類優(yōu)化設計，涉及到網(wǎng)的基準設計，網(wǎng)形、觀測值精度以及觀測方案的設計。在工程測量中，施工控制網(wǎng)、安裝控制網(wǎng)和變形監(jiān)測網(wǎng)都需要作優(yōu)化設計。由于采用GPS定位技術和電磁波測距，網(wǎng)的幾何圖形概念與傳統(tǒng)的測角網(wǎng)有很大的區(qū)別。除特別的精密控制網(wǎng)可考慮用專門編寫的解析法優(yōu)化設計程序作網(wǎng)的優(yōu)化設計外，其他的網(wǎng)都可用模擬法進行設計。模擬法優(yōu)化設計的軟件功能和進行優(yōu)化設計的步驟主要是：根據(jù)設計資料和地圖資料在圖上選點布網(wǎng)，獲取網(wǎng)點近似坐標(最好將資料作數(shù)字化掃描并在微機上進行)。模擬觀測方案，根據(jù)儀器確定觀測值精度，可進一步模擬觀測值。計算網(wǎng)的各種質(zhì)量指標如精度、可靠性、靈敏度。精度應包括點位精度、相鄰點位精度、任意兩點間的相對精度、最弱點和最弱邊精度、邊長和方位角精度。進一步可計算坐標未知數(shù)的協(xié)方差陣或部分點坐標的協(xié)方差陣，協(xié)方差陣的主成份計算，特征值計算，點位誤差橢圓、置信橢圓的計算等?？煽啃园總€觀測值的多余觀測分量(內(nèi)部可靠性)和某一觀測值的粗差界限值對平差坐標的影響(外部可靠性)。靈敏度包括靈敏度橢圓、在給定變形向量下的靈敏度指標以及觀測值的靈敏度影響系數(shù)。將計算出的各質(zhì)量指標與設計要求的指標比較，使之既滿足設計要求，又不致于有太大的富余。通過改變觀測值的精度或改變觀測方案(增加或減少觀測值)或局部改變網(wǎng)形(增加或減少網(wǎng)點)等方法重新作上述設計計算，直到獲取一個較好的結果。
2.1.2變形監(jiān)測與數(shù)據(jù)處理。根據(jù)變形觀測數(shù)據(jù)繪制變形過程曲線是一種最簡單而有效的數(shù)據(jù)處理方法，由過程曲線可作趨勢分析。如果將變形觀測數(shù)據(jù)與影響因子進行多元回歸分析和逐步回歸計算，可得到變形與顯著性因子間的函數(shù)關系，除作物理解釋外，也可用于變形預報［6］。多元回歸分析需要較長的一致性好的多組時間序列數(shù)據(jù)。
若僅對變形觀測數(shù)據(jù)，可采用灰色系統(tǒng)理論或時間序列分析理論建模，前者可針對小數(shù)據(jù)量的時間序列，對原始數(shù)列采用累加生成法變?yōu)樯蓴?shù)列，因此有減弱隨機性、增加規(guī)律性的作用。如果對一個變形觀測量(如位移)的時間序列，通過建立一階或二階灰微分方程提取變形的趨勢項，然后再采用時序分析中的自回歸滑動平均模型ARMA，這種組合建模的方法，可分性好且具有以下顯著優(yōu)點：將非平穩(wěn)相關時序轉(zhuǎn)化為獨立的平衡時序；具有同時進行平滑、濾波和推估的作用；模型參數(shù)聚集了系統(tǒng)輸出的特征和狀態(tài)；這種組合模型是基于輸出的等價系統(tǒng)的理想動態(tài)模型。
把變形體視為一個動態(tài)系統(tǒng)，將一組觀測值作為系統(tǒng)的輸出，可以用卡爾曼濾波模型來描述系統(tǒng)的狀態(tài)。動態(tài)系統(tǒng)由狀態(tài)方程和觀測方程描述，以監(jiān)測點的位置、速率和加速率參數(shù)為狀態(tài)向量，可構造一個典型的運動模型。狀態(tài)方程中要加進系統(tǒng)的動態(tài)噪聲?？柭鼮V波的優(yōu)點是勿需保留用過的觀測值序列，按照一套遞推算法，把參數(shù)估計和預報有機地結合起來。除觀測值的隨機模型外，動態(tài)噪聲向量的協(xié)方差陣估計和初始周期狀態(tài)向量及其協(xié)方差陣的確定值得注意。采用自適應卡爾曼濾波可較好地解決動態(tài)噪聲協(xié)方差的實時估計問題?？柭鼮V波特別適合滑坡監(jiān)測數(shù)據(jù)的動態(tài)處理；也可用于靜態(tài)點場、似靜態(tài)點場在周期的觀測中顯著性變化點的檢驗識別。 對于具有周期性變化的變形觀測時間序列，通過Fourier變換，可將時域內(nèi)的信息轉(zhuǎn)變到頻域內(nèi)分析。在某一觀測時刻的觀測值數(shù)字信號可表示為許多個不同頻率的諧波分量之和，通過計算各諧波頻率的振幅，最大振幅以及所對應的主頻率等，可揭示變形的周期變化規(guī)律。若將變形體視為動態(tài)系統(tǒng)，變形視為輸出，各種影響因子視為輸入，并假設系統(tǒng)是線性的，輸入輸出信號是平穩(wěn)的，則通過頻譜分析中的相干函數(shù)、頻響函數(shù)和響應譜函數(shù)估計，可以分析輸入輸出信號之間的相干性，輸入對系統(tǒng)的貢獻(即影響變形的主要因素及其頻譜特性)。
2.1.3測量平差。最小二乘法廣泛應用于測量平差。最小二乘配置包括了平差、濾波和推估。附有限制條件的條件平差模型被稱為概括平差模型，它是各種經(jīng)典的和現(xiàn)代平差模型的統(tǒng)一模型。測量誤差理論主要表現(xiàn)在對模型誤差的研究上，主要包括：平差中函數(shù)模型誤差、隨機模型誤差的鑒別或診斷；模型誤差對參數(shù)估計的影響，對參數(shù)和殘差統(tǒng)計性質(zhì)的影響；病態(tài)方程與控制網(wǎng)及其觀測方案設計的關系。由于變形監(jiān)測網(wǎng)參考點穩(wěn)定性檢驗的需要，導致了自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差的出現(xiàn)和發(fā)展。觀測值粗差的研究促進了控制網(wǎng)可靠性理論，以及變形監(jiān)測網(wǎng)變形和觀測值粗差的可區(qū)分性理論的研究和發(fā)展。針對觀測值存在粗差的客觀實際，出現(xiàn)了穩(wěn)健估計(或稱抗差估計)；針對法方程系數(shù)陣存在病態(tài)的可能，發(fā)展了有偏估計。與最小二乘估計相區(qū)別，穩(wěn)健估計和有偏估計稱為非最小二乘估計。
2.2三維工業(yè)測量技術的發(fā)展及其在地下工程測量中的應用。三維工業(yè)測量技術，是以電子經(jīng)緯儀、全站儀、近景攝影儀或激光掃描儀等為傳感器，在電子計算機和軟件的支持下形成了三維測量系統(tǒng)。三維工業(yè)測量系統(tǒng)分為三大類，以電子經(jīng)緯儀或全站儀為傳感器的工業(yè)大地測量系統(tǒng)；以近景攝影機為傳感器的工業(yè)攝影測量系統(tǒng)；以激光掃描儀為傳感器的激光掃描測量系統(tǒng)。工業(yè)大地測量系統(tǒng)發(fā)展最早，應用較廣，如美國研制的AIMSRT系統(tǒng)三維測量其精度達0.05mm要求；瑞士和法國聯(lián)合研制的RMS200系統(tǒng)，在拋物面天線三維測量，拋物面焦距值與設計值之差為1mm，功效提高3～4倍；德國研制的IMS系統(tǒng)，在飛機表面三維測量，位置和高程精度均達到±0.1 mm；瑞士研制的SPACE全自動工業(yè)測量系統(tǒng)，望遠鏡內(nèi)裝微型CCD攝影機，能進行數(shù)字圖像處理，每小時可測500點三維坐標，點位精度小于0.1mm。武漢大學馮文灝教授等研制的“基于測角儀器的聯(lián)機工業(yè)測量系統(tǒng)”，在大型物體表面三維測量，點位和高程精度達到0.5mm以內(nèi)，解放軍信息工程大學測繪院李廣云教授等研制的工業(yè)測量系統(tǒng)精度達到0.5mm。工業(yè)攝影測量系統(tǒng)，通常以近景攝影的方式實現(xiàn)，其優(yōu)點是通過像片提供大量信息，施測周期短，可在瞬間完成測量的全過程，可對動態(tài)目標進行測量，可以多重攝影，有多余觀測值，精度可靠，最好的相對精度可達百萬分之一，這對于復雜多變的地質(zhì)環(huán)境條件下的地下工程測量是非常有利的，在短時間內(nèi)獲取海量的測量數(shù)據(jù)，不但大大節(jié)省了財力、人力和物力，還能使測量的精度大大提高。激光掃描測量系統(tǒng)，是以激光掃描儀為傳感器的三維工業(yè)測量系統(tǒng)。激光掃描“點陣”可再現(xiàn)所測物體的三維立體景觀，可直接用于點對點的量測，利用擬合軟件，點陣可轉(zhuǎn)換成三維模型、二維平面圖、等高線圖或斷面圖等，也可以同時用于CAD及相關應用。因激光掃描儀具有掃描范圍大、速度快、分辨率高、建?？?、拼接好的特點，這就為礦山開采沉陷的動態(tài)監(jiān)測、開采損害的評價提供了先進的技術手段，從而更能客觀、科學、有效的指導礦山的安全生產(chǎn)。
3. 地下工程測量學的發(fā)展展望如前所述，地下工程測量理論與技術的快速發(fā)展與現(xiàn)實的測量儀器、技術和工程有著密切的關系。工程測量技術的自動化!智能化!小型化!無線化和動態(tài)測量化是一個總的發(fā)展趨勢。我國的地下工程測量在各個方面取得了巨大的發(fā)展，為國民經(jīng)濟建設解決了諸多的關鍵問題。每年一次的全國性的工程測量學術研討會就給國內(nèi)的測量工作者提供了一次不斷交流、探討、總結和提高的機會。但由于各方面的原因，如測繪市場的不規(guī)范、資金和人力的投入不足、追求短期效應等，國內(nèi)的地下工程測量在先進技術的研究和應用方面比起發(fā)達的國家，還存在一定的差距。因此，地下工程測量理論與技術應該在以下幾個方面有更好的發(fā)展：(1)針對特殊工程的專用儀器的研制，特別是傳感器的研制；(2)各種傳感器集成、數(shù)據(jù)處理及自動化實現(xiàn)，如各種移動測量系統(tǒng)的研制；(3)新型測量儀器的檢校設備!理論和方法；(4)多類連續(xù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的聯(lián)合處理與分析的理論與方法；(5)數(shù)據(jù)處理中數(shù)學物理模型的建立、分析和辨識等。
參考文獻
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［3］楊紅林. 地下工程測量時儀器采用的激光對點給向裝置［J］.礦山測量，2001，（4）：60-62.
［4］徐進軍、張正祿、張民偉.工程測量的發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢［J］.測繪通報，2005，（8）：1-4.
第8篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
關鍵詞： CORBA ORB 分布式仿真 靈敏度分析 直接微分法
一、CORBA簡介
CORBA（Common Object Request Broker Architecture，公共對象請求體系結構）是由OMG（對象管理組織，Object Management Group）提出的應用軟件體系結構和對象技術規(guī)范，其核心是一套標準的語言、接口和協(xié)議，支持異構分布應用程序間的互操作性及獨立于平臺和編程語言的對象重用。
二、平面三連桿系統(tǒng)的分析
工程實際中的機械系統(tǒng)是由若干部件與運動副組成。在動力學分析時，首先應將一個實際系統(tǒng)抽象為一個多體系統(tǒng)（本文以多剛體系統(tǒng)為研究對象）。如果組成機械系統(tǒng)的所有部件都在同一平面或平行的平面內(nèi)運行，這個系統(tǒng)就是平面機械系統(tǒng)。在考慮力的作用下研究各部件的位置與姿態(tài)，以及它們變化速度與加速度的關系，稱為動力學分析。由于各部件間通過運動副與驅(qū)動裝置連接在一起，平面機械系統(tǒng)的數(shù)學模型為各部件的位置與姿態(tài)坐標的非線性代數(shù)方程，以及速度與加速度的線性代數(shù)方程。所以平面機械系統(tǒng)動力學分析可以歸結為求解線性與非線性代數(shù)方程問題。
三、仿真的實現(xiàn)
1.接口的定義和編譯
OMG IDL文件在整個系統(tǒng)中處于非常重要的地位，它是客戶對象和服務器對象共同使用的接口。OMG IDL是與平臺和語言無關的；而數(shù)據(jù)及調(diào)用格式的轉(zhuǎn)換則是由ORB透明地完成。所有的CORBA對象接口，以及接口中相關的數(shù)據(jù)類型，都可以由接口定義語言（IDL）說明。
根據(jù)對模型的分析，接口程序定義的變量應該為：模型的初始位置q，桿的質(zhì)量m，物塊的質(zhì)量m1，仿真的初始時間tbegin和結束時間tend，兩次計算間的時間間隔step，兩次存儲結果間的時間間隔wstep。
編輯完畢并保存后，對接口文件進行編譯，生成相應的接口存根對象樁及接口框架對象架構，在此基礎上可以擴展實現(xiàn)客戶端和服務器端。
2.編寫服務器端程序
服務器端所要實現(xiàn)的功能即是原來仿真程序所實現(xiàn)的功能?？梢园堰@部分程序看成一個黑箱系統(tǒng)，不必關心它的功能具體是如何實現(xiàn)的，所要關心的是它能夠提供什么樣的服務，最關鍵的是它的輸入輸出是什么，也就是它呈現(xiàn)給外界的接口是怎樣的。
數(shù)據(jù)庫在整個系統(tǒng)中的主要作用是存儲數(shù)據(jù)，同時可以更方便地展示數(shù)據(jù)，也利于其他程序共享數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)庫使用Microsoft Access建立，服務器端的C++Application通過ODBC直接對數(shù)據(jù)庫進行存儲操作?？蛻舳丝梢酝ㄟ^JDBC-ODBC橋訪問Access數(shù)據(jù)庫。服務器端對數(shù)據(jù)庫的操作主要是數(shù)據(jù)的存儲，即把處理后的數(shù)據(jù)從文件中讀出后直接寫入表中，客戶端對數(shù)據(jù)庫的主要操作是數(shù)據(jù)的演示，只需讀出表中的數(shù)據(jù)即可。
3.編寫客戶端程序
相對于服務器端，客戶端的實現(xiàn)比較簡單。本文中采用C++ Application的形式。
執(zhí)行File|New菜單項，在New Items對話框中選擇Multitier頁，點取CORBA Client圖標做到客戶端的實現(xiàn)，用以提交各項數(shù)據(jù)。編輯完畢后，使用Edit|Use CORBA Object指定客戶端要使用的對象實現(xiàn)。
4.Smart Agent
在客戶存根和服務器框架之間的橋梁是Smart agent，由它們來負責網(wǎng)絡間的底層通信，Smart agent是一個動態(tài)的分布式目錄服務，該服務定位實現(xiàn)特定對象的有效服務器。如果有多個服務器供選，智能提供載入平衡。它還提供服務器失敗保護，方式是在鏈接失敗時嘗試重起服務或必要時定位到其它主機上的服務器。Smart agent必須在局域網(wǎng)中的至少一臺主機上啟動。ORB用廣播消息定位Smart agent，如果網(wǎng)絡中有多個Smart agent，ORB使用第一個響應的。
5.仿真功能的實現(xiàn)
客戶端的仿真功能主要是基于計算數(shù)據(jù)的圖形仿真。采用二維和動畫兩種形式，把處理后的、存儲在數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)顯示出來。
動畫仿真采用OpenGL技術。OpenGL是一套三維圖形處理庫，也是該領域的工業(yè)標準。OpenGL被設計成獨立于硬件，獨立于窗口系統(tǒng)的，在運行各種操作系統(tǒng)的各種計算機上都可用，并能在網(wǎng)絡環(huán)境下以客戶/服務器模式工作，是專業(yè)圖形處理、科學計算等高端應用領域的標準圖形庫。在使用OpenGL的時候，只需要做簡單的初始化，然后就可以直接調(diào)用相應的函數(shù)進行圖形繪制。在要實現(xiàn)動畫的窗體中添加一時鐘控件。由于一時鐘控件可以控制一時鐘事件完成一些周期性的工作，所以繪制圖畫的功能就添加在時鐘事件里。隨著時間變化，根據(jù)從數(shù)據(jù)庫中讀出的數(shù)據(jù)，不斷重繪桿的位置，就形成了動畫。動畫仿真的截圖如下：
二維仿真使用線性圖表顯示出在任意時刻某一個變量的值。x1對t的曲線圖如下：
參考文獻：
［1］潘振寬，趙維加.多體系統(tǒng)動力學設計靈敏度分析.青島大學.
［2］Jarrod Hollingworth. C++Builder5程序設計大全.機械工業(yè)出版社.
第9篇：數(shù)學建模靈敏度分析范文
[關鍵詞]機械工程 研究生 有限元分析 實踐能力 教學實踐
[中圖分類號] G643 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）08-0160-02
一、引言
機械工程研究生的培養(yǎng)，是機械工程學科人才培養(yǎng)的主要方面，在國內(nèi)相關的科研院所、企業(yè)主要技術管理崗位，畢業(yè)研究生已經(jīng)成為主力軍。機械工程的碩士研究生除需要系統(tǒng)知識以外，更要求有一定的動手實踐能力。根據(jù)文獻調(diào)查，目前機械工程研究生培養(yǎng)主要存在兩個問題[1] [2] [3]：理論方法和虛擬仿真水平較高，動手設計研發(fā)能力差；與工程實踐嚴重脫節(jié)，不重視實驗驗證，在工作崗位上力不從心。為克服上述問題，需要在研究生培養(yǎng)環(huán)節(jié)重視該方面能力的鍛煉，增加研究生在實踐方面的研究和經(jīng)歷，并借助一些要求動手實踐能力強的課程進行針對性的因材施教。有限元分析（FEA）是機械工程研究生的必修課，是進行機械工程領域的機械系統(tǒng)的仿真、結構和零件力學計算問題分析、機械系統(tǒng)或結構動力性能分析、振動分析以及加工過程仿真的必不可少的工具。因此提高機械工程研究生的有限元分析實踐能力是提高其動手能力和解決實際問題能力的重要方面之一。
二、機械工程有限元分析工程實踐能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀
從2000年以來，有不少學者和高校進行了許多非常有益的教學改革和嘗試，獲得了較好的成果，如清華大學[4]對有限元分析課程的內(nèi)容增加了先進軟件的應用與工程實踐相結合的教學方法，收到了良好的效果。浙江大學專門為機械工程碩士開放有限元學位課程。劉義[5]對有限元方法的教學提出增加通用軟件訓練和程序編寫的內(nèi)容，并在教學方面進行機械有限元工程實踐能力的培養(yǎng)。雖然國內(nèi)各個高校[3] [4] [5] [6]開始重視在機械工程領域開展有限元分析方面的實踐訓練和學習，但是和國外著名高校（如MIT的工程師學位教育[2] [7]）相比，對該方面的實踐訓練和教學仍然需要加強和提高。南京航空航天大學機電學院較早開設此課程，不但有理論課程的學習，同時增設了實踐環(huán)節(jié)。通過幾個學期的教學，我院取得了教學改革的良好效果，在此和讀者分享。
三、對機械工程有限元分析實踐能力培養(yǎng)特點的認識和理解
機械工程有限元分析課程與其他機械設計課程相似，都具有經(jīng)驗性和工程性很強的特點，一個不懂機械和力學的人，也可以建立很漂亮的模型，外人幾乎無法看出其破綻與問題。但是這樣的模型不能解決設計中出現(xiàn)的問題，有許多重要的經(jīng)驗與方法需要在真實的結構建模中才能領悟到。
機械工程有限元分析實踐能力培養(yǎng)特點之一是有限元模型幾何形狀變化差異很大，需要按具體力學要求進行處理。不同的位置形狀對網(wǎng)格形狀的要求也不同。特點之二是不同的力學行為和關注的失效形式對建模的要求也不同。比如靜力學問題，要求網(wǎng)格很細，而動力學問題則可以粗略。特點之三是邊界條件復雜繁多，最難處理。這就需要對力學問題有深入全面的理解，并簡化凝練，通過數(shù)學方法來描述復雜的邊界條件，學會使用不同的時域、頻域以及空間場等多種方式描述邊界條件。特點之四是計算仿真結果的解讀和評價，需要結合實際工程問題以及不同工況結果給出解讀和評價。特點之五是隨著計算機硬件和軟件的發(fā)展，有限元分析方法也在軟件方面出現(xiàn)了既適合多樣性問題的大型通用分析軟件（如NASTRAN，ANSYS），又有專用的針對某一類問題的軟件（如汽車碰撞仿真的專用軟件LSDYNA3D），研究生需要了解所研究的對象并能選用合適的軟件。
四、提高研究生有限元分析實踐應用能力的教學實踐嘗試
近年來，我校針對機械工程機械設計方向研究生在課程學習結束的基礎上開設了有限元分析為主的實驗課。該課程內(nèi)容精心設計，有以下明顯的特點：1.要求使用3D軟件[如creo（proE），UG，CATIA]對實際問題進行三維建模，可以進行較為復雜的機械結構建模。通過這樣的訓練，使研究生在這樣的階段得到較深入的認識，對復雜工程問題建模不再懼怕。2.要求使用Hypermesh專業(yè)有限元網(wǎng)格劃分軟件對較復雜的結構進行色彩、特性等的分組，很容易實現(xiàn)復雜模型的管理。3.對各樣的力學問題，從靜力學、接觸問題、動力學模態(tài)和響應計算以及非線性問題都進行從簡到繁的訓練。4.為了克服有限元仿真是虛擬的，經(jīng)常脫離工程實際結果，我們所使用的例子增加了解析解和實驗測試的問題，使得這樣的訓練更真實。比如在靜力學方面我們安排了懸臂梁彎曲變形的例子，對典型齒輪齒根彎曲應力進行分析，以及對一對齒輪的接觸分析進行計算，因為這些實例都有較準確的解析結果或經(jīng)驗公式。在動力學方面安排了兩個典型例子，一個是螺栓連接框架結構的模態(tài)分析，另一個是典型航天輕型接觸結構的自由模態(tài)分析和隨機振動分析，這兩個例子都具有試驗的測試結果。5.為增加對有限元分析結果的評價和認識，對一些例子嘗試使用量化的比較方法進行更進一步的練習。比如用螺栓連接框架結構對計算與實驗的模態(tài)振型置信度MAC指標進行量化的比較，這樣的評價更為客觀，使有限元分析能夠做到有的放矢，不至偏離太遠。6.引入有限元模型修正的方法。有限元模型修正技術是為了提高仿真計算的精度，在結構動力學領域漸漸發(fā)展起來的一項二次改進開發(fā)的技術，通過修正有誤差的參數(shù)使有限元分析的模態(tài)參數(shù)或頻率響應或時域響應與實驗的響應更加吻合。我們使用較簡單的框架結構，由于其連接結構剛度不確定，使用彈簧單元來描述其連接剛度，選取四階主要的結構模態(tài)振型和頻率作為目標，使用手工調(diào)整和MATLAB編程的形式來修正連接參數(shù)，通過這樣的實踐練習可以使研究生對結構模態(tài)、靈敏度和建模的認識更加清楚，為將來的建模提供原則性的指導。7.結合工程實踐，凝練工程實例，從工程實踐出發(fā)，指導學生自主建模和分析。近幾年我們在橫向科研活動中積累了不同領域具有代表性的工程結構有限元分析實例，通過整理，選取一些實例作為研究生的工程實踐訓練。這些實例包括：某型挖掘機的回轉(zhuǎn)支承軸承動力分析；大型磨機（含基礎）振動分析；大型傳動系統(tǒng)的扭振分析；某型航天電子設備機箱的環(huán)境振動與強度校核；典型動車整車的系統(tǒng)等效建模與模態(tài)分析；車輛駕駛室的大變形落物和側(cè)翻變形安全分析；含機器人的整體框架動強度校核；液壓圓錐破碎機動力學分析與強度校核。這些工程實例多數(shù)都有現(xiàn)場的動態(tài)響應實驗為檢驗，通過選擇上述仿真算例研究，研究生可以使研究生得到直接的訓練。在老師的指導下，研究生可以對工程結構有限元分析有更為真實的經(jīng)驗，同時也提高了研究生在這些方面的興趣。
五、總結與討論
通過精心設計有限元分析實踐應用能力的實驗課程與教學實踐，通過復雜有限元建模，在先進3D軟件、建模軟件和分析軟件的應用、結果評價、誤差參數(shù)校準修正以及與工程結構緊密結合等方面，對提高機械工程研究生的動手能力和解決實際復雜機械系統(tǒng)設計計算問題的能力有了較大的幫助。但綜合提高研究生的各項業(yè)務能力是個系統(tǒng)工程，需要更加全面的按照機械工程人才培養(yǎng)的客觀規(guī)律，借鑒國內(nèi)外高等教育的先進經(jīng)驗，結合現(xiàn)階段我國人才經(jīng)濟發(fā)展需要，逐步改善和勇于探索，為祖國機械工業(yè)培養(yǎng)更多更高素質(zhì)的人才。
[ 注 釋 ]
[1] 朱劍英.機械工程與制造業(yè)的全球展望與中國機械工程研究生教育改革[J].機械制造與自動化，2009（1）：6-14.
[2] 王國強，趙春江.中外大學機械工程專業(yè)研究生教育模式比較分析研究[J].中國高教研究，2009（5）：29-32.
[3] 鐘良.教學模式：西南科技大學機械工程類研究生培養(yǎng)模式探索[J].教育教學論壇，2012（2）：92-93.
[4] 曾攀.重視傳統(tǒng)課程的教改，培養(yǎng)高素質(zhì)人才――談研究生學位課《有限元分析及應用》的教改體會[J].學位與研究生教育，2000（1）：31-34.
[5] 劉義，薛玉君.機械工程研究生“有限單元法”課程教學探討[J].中國電力教育，2012（6）：40-41.
