高中數(shù)學(xué)求最小值的方法精選(九篇)
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第1篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
一、求最值問題
數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)求最值問題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在如下兩方面：
1.涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解
涉及與圓有關(guān)的最值一般可總結(jié)為如下幾種模式：
（1）形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；（2）形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；（3）形如w=（x-a）2+（y-b）2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題等。
例題1.已知實數(shù)，x、y滿足方程：
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求（x+2）2+y2的最大值和最小值。
解：（1）如圖1-1，設(shè)y-x=b即y=x+b，當y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時 ，即b=±。故y-x的最大值為+，最小值為-。
（2）如圖1-2，（x+2）2+y2表示圓上的點與點（-2，0）距離的平方，由平面幾何知識知道它在點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到點（-2，0）的距離為2，故（x+2）2+y2的最大值為32=9，故（x+2）2+y2的最小值為12=1。
2.若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，可用數(shù)形結(jié)合的方法求解
當從函數(shù)的解析式能夠明顯看出是某種圖形時，對于這種情況將函數(shù)表達式用圖形表現(xiàn)出來是最直觀也最為有效的解題思路，通常將函數(shù)呈現(xiàn)在圖形中后，相應(yīng)的未知量的變化趨勢與變化結(jié)果也會很明顯，這對于解題過程是非常有幫助的。
例題2.求函數(shù) 的最小值。
解：如右圖，函數(shù) 的幾何意義為：平面內(nèi)一點P（x，0）到兩點A（-3，4）和B（5，2）距離之和就是y的值。由平面幾何知識，找出B關(guān)于x軸的對稱點B'（5，-2）。連結(jié)AB'交x軸于一點P為所求的點，最小值
二、求集合問題
在集合運算中常常借助于數(shù)軸、韋恩圖等圖形工具來處理集合的有關(guān)運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。數(shù)形結(jié)合不只是體現(xiàn)在函數(shù)上，高中數(shù)學(xué)中有很大板塊會考察到學(xué)生的邏輯思維能力，對于這類題目如果能夠?qū)l件用圖形很好的表示出來，這不僅是對于一直條件的一種非常有效的歸納整理，也能夠幫助學(xué)生邏輯更清晰，思維更敏捷，從而對于題目有更好的解答。
例3.某班有52名學(xué)生，每人至少參加一項體育活動，參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù)分別為30、24、18，同時參加足球、籃球的有8人，同時參加足球、乒乓球小組的有6人，同時參加籃球、乒乓球小組的有4人，問，同時參加足球、籃球、乒乓球小組的有多少人？
解：利用韋恩圖求解，我們可用圓A、B、C分別表示參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù)（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù).用n表示集合的元素，
則有：
即：
所以：
三、解不等式與求取值范圍
1.解不等式
在不等式的題目中有一些題目專門考查大家的數(shù)形結(jié)合能力，而且有些題目我們必須得用數(shù)形結(jié)合才能快而方便地求解，這些題目都有一些比較明顯的特征，所以我們必須根據(jù)其特點來借助圖形進行思考。
例4. ，若f（a）>a，求
實數(shù)a的取值范圍。
解：求f（a）>a中a的范圍，實際上是f（x）>x中x的范圍。在同一坐標系下分別作出y=（x）與y=x的圖像。由 解得x=1，又由：=x（x
2.求取值范圍
函數(shù)的圖像從形上很好的反映出了函數(shù)的性質(zhì)，故在研究函數(shù)性質(zhì)時要注意結(jié)合圖像，利用數(shù)形結(jié)合能較快地求出變量的取值范圍。函數(shù)由于其自身具有很強的抽象性，因此在分析函數(shù)問題時學(xué)生很難立刻找準思路并且理清思維，這時，如果能夠借助圖形讓函數(shù)在圖像上很好的得以表達，這將會讓問題非常直觀，也更容易讓問題得以解決。
例5.若關(guān)于x的方程 有兩個不同的實根，求m的取值范圍。
解：畫出 和 的圖像。
當直線 過點 ，即 時，
兩圖像有兩個交點如圖所示：
又由 ，得：
令 ，得m=1.所以當
時，兩圖形有兩個交點，方程有兩個實根。
本題應(yīng)用圖像法求解，既能夠讓條件更為直觀，也能夠極大的減小運算量，用圖像法解題時，圖像間的交點坐標應(yīng)通過方程組求解。用圖像法求變量的取值范圍時，要特別注意端點值的取舍和特殊情況，做到“數(shù)”與“形”的等價。
結(jié)語：
第2篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
[關(guān)鍵詞]線性規(guī)劃 目標函數(shù) 最值
簡單線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的新內(nèi)容之一,是解決一些在線性約束條件下的線性目標函數(shù)的最值(最大值或最小值)的問題。它是運籌學(xué)的一個重要內(nèi)容,對于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用,并且在實際生產(chǎn)活動中也有著廣泛的應(yīng)用,可以實現(xiàn)對資源的最佳利用。簡單線性規(guī)劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數(shù)的最值問題,但它的思想可以延伸到其他的數(shù)學(xué)最值問題的求解過程中。
簡單線性規(guī)劃的基本思想即在一定的約束條件下,通過數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值。解決問題時主要是借助平面圖形,運用這一思想能夠比較有效地解決一些二元函數(shù)的最值問題。本文將從規(guī)劃思想出發(fā)來探討一些高中數(shù)學(xué)中一些常見的函數(shù)最值問題。
一、線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題
線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題即簡單線性規(guī)劃問題,它的線性約束條件是一個二元一次不等式組,目標函數(shù)是一個二元一次函數(shù),可行域就是線性約束條件中不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線所圍成的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(x,y)即簡單線性規(guī)劃的可行解,在可行解中的使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(x,y)即簡單線性規(guī)劃的最優(yōu)解。
目標函數(shù):z=2x+y,是關(guān)于x,y的一個二元一次函數(shù);
可行域:是指由直線x-4y=-3,3x+5y=25和x=1所圍成的一個三角形區(qū)域(包括邊界)U(如圖1);
可行解:所有滿足(x,y)∈U(即三角形區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的點的坐標)實數(shù)x,y都是可行解;
最優(yōu)解:(x,y)∈U,即可行域內(nèi)一點(x,y),使得一組平行線x+y-z=0(z為參數(shù))中的z取得最大值和最小值時,所對應(yīng)的點的坐標(x,y)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。
當線性約束條件中的二元一次不等式組中出現(xiàn)一個二元一次方程(或一元一次方程)時,則可行域就轉(zhuǎn)變成一條線段(或一條直線,或一條射線)。
這類問題的解決,關(guān)鍵在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義,并畫出其圖形,利用簡單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標函數(shù)的最大值或最小值。
二、非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題
高中數(shù)學(xué)中的最值問題很多可以轉(zhuǎn)化為非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題。它們的約束條件是一個二元不等式組,目標函數(shù)是一個二元一次函數(shù),可行域是直線或曲線所圍成的圖形(或一條曲線段),區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(x,y)即可行解,在可行解中的使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(x,y)即最優(yōu)解。
例2 已知x,y滿足,x2+y2=4,求3x+2y的最大值和最小值約束條件:x2+y2=4,是關(guān)于x,y的一個二元二次方程;目標函數(shù):z=3x+2u,是關(guān)于x,y的一個二元一次函數(shù);可行域:是圓x2+y2=4上的圓周U(如圖2)
可行解:所有滿足(x,y)∈U(即圓周上的點的坐標)實數(shù)x.u都是可行解;
最優(yōu)解:(x,y)∈U,即可行域內(nèi)一點(x,y),使得一組平行線3x+2y-z=0(z為參數(shù))中的z取得最大值和最小值時,所對應(yīng)的點的坐標(x,y)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。
這類問題的解決,關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性約束條件所表達的幾何意義,并畫出其圖形,利用簡單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標函數(shù)的最大值或最小值。
三、線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問題
這類問題也是高中數(shù)學(xué)中常見的問題,它也可以用線性規(guī)劃的思想來進行解決。它的約束條件是一個二元一次不等式組,目標函數(shù)是一個二元函數(shù),可行域是直線所圍成的圖形(或一條線段),區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(x,y)即可行解,在可行解中的使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(x,y)即最優(yōu)解。
目標函數(shù):z=x2+y2-4x-4y+8是一個關(guān)于x,y的一個二元二次函數(shù),可以看作是一點(x,y)到點(2,2)的距離的平方;
可行域:是指由直線x+y-1=0,x-y+1=0和y=-1所圍成的一個三角形區(qū)域(包括邊界)U(如圖3);
可行解:所有滿足(x,y)∈U(即三角形區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的點的坐標)實數(shù)x,y都是可行解;
最優(yōu)解:(x,y)∈U,即可行域內(nèi)一點(x,y),使得它到點(2,2)的距離最小,則其距離的平方也取得最小值,此時所對應(yīng)的點的坐標(x,y)就是最優(yōu)解。
這類問題的解決,關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性目標函數(shù)所表示的幾何意義,并利用圖形及非線性目標函數(shù)所表示的幾何意義求出最優(yōu)解及目標函數(shù)的最大值或最小值。
四、非線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問題
在高中數(shù)學(xué)中還有一些常見的問題也可以用線性規(guī)劃的思想來解決,它的約束條件是一個二元不等式組,目標函數(shù)也是一個二元函數(shù),可行域是由曲線或直線所圍成的圖形(或一條曲線段),區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(x,y)即可行解,在可行解中的使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(x,y)即最優(yōu)解。
約束條件:y=1-x2是一個關(guān)于x,y的一個二元方程;目標函數(shù):z=yx+2是一個關(guān)于x,y的一個二元函數(shù),可以看作是一點(x,y)與點(-2,0)的斜率;
可行域:以原點為圓心,1為半徑的在x軸上方的半圓及與x軸的交點U(如圖4);
可行解:所有滿足(x,y)∈U(即半圓(包括交點)上的點的坐標)實數(shù)x,y都是可行解;
最優(yōu)解:(x,y)∈U,即可行域內(nèi)一點(x,y),使得它與點(-2,0)的斜率取得最大值和最小值,此時所對應(yīng)的點的坐標(x,y)就是最優(yōu)解。
第3篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 障礙
一、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成原因
一方面，如果在教學(xué)過程中，教師不顧學(xué)生的實際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學(xué)生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。因此，如果教師的教學(xué)脫離學(xué)生的實際；如果學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，其新舊數(shù)學(xué)知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學(xué)生對所學(xué)知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產(chǎn)生思維障礙，影響學(xué)生解題能力的提高。
二、高中數(shù)學(xué)思維障礙的具體表現(xiàn)
由于高中數(shù)學(xué)思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，高中數(shù)學(xué)思維障礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：
1.數(shù)學(xué)思維的膚淺性：由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的去理解，一般的學(xué)生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質(zhì)。
2.數(shù)學(xué)思維的差異性：由于每個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學(xué)生對于同一數(shù)學(xué)問題的認識、感受也不會完全相同，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的偏頗。這樣，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。
3.數(shù)學(xué)思維定勢的消極性：由于高中學(xué)生已經(jīng)有相當豐富的解題經(jīng)驗，因此，有些學(xué)生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據(jù)新的問題的特點作出靈活的反應(yīng)，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。如剛學(xué)立體幾何時，一提到兩直線垂直，學(xué)生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。
由此可見，學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展，而且也不利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的提高。所以，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中注重突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙就顯得尤為重要。
三、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的突破
1.在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學(xué)生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學(xué)生認知水平的個性差異，強調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
興趣是最好的老師，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮灶，也就是更大程度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學(xué)生進一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對不同學(xué)生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學(xué)生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
例：高一年級學(xué)生剛進校時，一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學(xué)生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學(xué)生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學(xué)生普遍（包括基礎(chǔ)差的學(xué)生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：
1〉求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1
2〉求函數(shù)y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]時的最小值。
3〉求函數(shù)y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。
2.重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，也不是對應(yīng)用能力的評價，數(shù)學(xué)意識是指學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學(xué)意識落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時，我們應(yīng)該加強數(shù)學(xué)意識教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識帶動雙基，將數(shù)學(xué)意識滲透到具體問題之中。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識是突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的一個重要環(huán)節(jié)。
3.誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)是我們的教學(xué)活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到極其重要的作用。
第4篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 思維障礙
高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的形成是建立在對高中數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的；發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn)的。
一、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成原因
根據(jù)布魯納的認識發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學(xué)是要通過已知的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)，對"從外到內(nèi)"的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學(xué)生能從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的"媒介點"，這樣，新舊知識在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學(xué)過程中，教師不顧學(xué)生的實際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學(xué)生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的"媒介點"時，這些新知識就會被排斥或經(jīng)"校正"后吸收。
因此，如果教師的教學(xué)脫離學(xué)生的實際；如果學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，其新舊數(shù)學(xué)知識不能順利"交接"，那么這時就勢必會造成學(xué)生對所學(xué)知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產(chǎn)生思維障礙，影響學(xué)生解題能力的提高。
二、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的突破
1.在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學(xué)生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學(xué)生認知水平的個性差異，強調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮灶，也就是更大程度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學(xué)生進一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對不同學(xué)生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學(xué)生有一種"跳一跳，就能摸到桃"的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
例：高一年級學(xué)生剛進校時，一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學(xué)生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學(xué)生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學(xué)生普遍（包括基礎(chǔ)差的學(xué)生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：
1〉求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
2〉求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
3〉求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。
2.重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識。
數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，也不是對應(yīng)用能力的評價，數(shù)學(xué)意識是指學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學(xué)意識落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時，我們應(yīng)該加強數(shù)學(xué)意識教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識帶動雙基，將數(shù)學(xué)意識滲透到具體問題之中。
3.誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)是我們的教學(xué)活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到極其重要的作用。
使學(xué)生暴露觀點的方法很多。例如，教師可以與學(xué)生談心的方法，可以用精心設(shè)計的診斷性題目，事先了解學(xué)生可能產(chǎn)生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學(xué)生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設(shè)置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學(xué)生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學(xué)生討論，從錯誤中引出正確的結(jié)論，這樣學(xué)生的印象特別深刻。而且通過暴露學(xué)生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學(xué)生在思維活動中只會"按部就班"的傾向，在教學(xué)中還應(yīng)鼓勵學(xué)生進行求異思維活動，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、獨立思考的方法，不滿足于用常規(guī)方法取得正確答案，而是多嘗試、探索最簡單、最好的方法解決問題的習(xí)慣，發(fā)展思維的創(chuàng)造性也是突破學(xué)生思維障礙的一條有效途徑。
第5篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)思維障礙
[中圖分類號]G427 [文獻標識碼]A [文章編號]1006-5962（2013）05（a）-0116-01
在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，我們經(jīng)常聽到學(xué)生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從人手；有時，在課堂上待我們把某一問題分析完時，常常看到學(xué)生拍腦袋：“唉，我怎么會想不到這樣做呢？”事實上，有不少問題的解答，同學(xué)發(fā)生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學(xué)生無法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙。
1.高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成原因
根據(jù)布魯納的認識發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學(xué)是要通過已知的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)，對“從外到內(nèi)”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學(xué)生能從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學(xué)過程中，教師不顧學(xué)生的實際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學(xué)生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。
因此，如果教師的教學(xué)脫離學(xué)生的實際；如果學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，其新舊數(shù)學(xué)知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學(xué)生對所學(xué)知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產(chǎn)生思維障礙，影響學(xué)生解題能力的提高。
2.高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的突破
1）在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學(xué)生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學(xué)生認知水平的個性差異，強調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；教師可以幫助學(xué)生進一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對不同學(xué)生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學(xué)生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
例：高一年級學(xué)生剛進校時，一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學(xué)生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學(xué)生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學(xué)生普遍（包括基礎(chǔ)差的學(xué)生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：
（1）求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
（2）求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
（3）求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。
2）重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，也不是對應(yīng)用能力的評價，數(shù)學(xué)意識是指學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學(xué)意識落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性，熟練程度的同時，我們應(yīng)該加強數(shù)學(xué)意識教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識帶動雙基，將數(shù)學(xué)意識滲透到具體問題之中。如：設(shè)x2+y2=25，求u=的取值范圍。
若采用常規(guī)的解題思路，u的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形容易求得u∈[6，6]，這里對u的適當變形實際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識在起作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強數(shù)學(xué)意識的教學(xué)，如“因果轉(zhuǎn)化意識”“類比轉(zhuǎn)化意識”等的教學(xué)，才能使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手、從容作答。所以，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識是突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的一個重要環(huán)節(jié)。
3）誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)是我們的教學(xué)活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到極其重要的作用。
第6篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 教學(xué)語言 教學(xué)效果
在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教學(xué)語言與課堂教學(xué)效果有密切的關(guān)系。蘇霍姆林斯基說：“教師高度的語言修養(yǎng)，在極大程度上決定著學(xué)生在課堂上腦力勞動的效率。”從某種意義上說，高效課堂的實施首先是教師課堂教學(xué)語言技能的提升，數(shù)學(xué)知識的傳遞、學(xué)生接受知識情況的反饋、師生間的情感交流等都必須依靠教學(xué)語言。教師的教學(xué)語言是有感情的，它可以以情動人、以情感人，激發(fā)學(xué)生思維，促使學(xué)生深度思考，給學(xué)生以力量、信心和克服困難的勇氣。但教學(xué)語言不能僅僅來源于教師自己的思考，它更應(yīng)該來源于學(xué)生，使大多數(shù)學(xué)生易于接受的教學(xué)語言才是好的教學(xué)語言。下面筆者淺談一下對高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)語言的認識。
一、教學(xué)語言要嚴密準確，不能含糊其辭，誤導(dǎo)學(xué)生
教師的語言必須科學(xué)準確，符合邏輯，這樣不僅可以使學(xué)生獲得清晰正確的知識，而且使學(xué)生受到嚴格的數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練，形成一絲不茍、嚴謹治學(xué)的態(tài)度。
例如，在講“等差數(shù)列”時，教師一定強調(diào)兩點，其一，數(shù)列從第二項起，an-an-1=d（n≥2），因為a1沒有前一項；其二，an-an-1=d（n≥2），d為與n無關(guān)的常數(shù)，若an-an-1=2n-1（n≥2），則數(shù)列{an} 不是等差數(shù)列，因為2n-1不是常數(shù)。
二、教學(xué)語言要生動形象，貼近生活，易于接受
所謂語言直觀性，就是指語言的生動性、形象性，既活潑、有趣、逼真，又深入淺出、易于接受。語言直觀最好的形式就是“打比喻”，教師能深入淺出地選用一些富有情趣的比喻，化抽象為具體，變枯燥為趣味，降低學(xué)生思維的難度，就可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
例.設(shè)函數(shù)f（x）＝■－■，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求函數(shù)y＝[f（x）]的值域。
解析：教師在解釋[x]時，可以這樣說，[x]表示下取整函數(shù)，就像買菜，價格11塊3，給11元就行了；價格11塊9，也給11元，即小數(shù)點后的都省略。教師要隨即擴充知識，還有一類函數(shù)是上取整函數(shù)， 表示不低于x的最小整數(shù)，即上取整函數(shù)，如手機計時收費，不足一分鐘的按一分鐘收費，[5.6]=6，[6.1]=7。上取整與下取整都區(qū)別于以前的四舍五入。
三、教學(xué)語言要有高度的概括性，為學(xué)生學(xué)習(xí)指明方向
教學(xué)語言不僅要精煉準確，而且要能高度概括本節(jié)課的主要內(nèi)容，促使學(xué)生準確把握所學(xué)的新知識，并對以后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生期待，爭取達到“課已盡，趣未盡”的效果。
例如，在講導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時，教師要強調(diào)區(qū)分“恒成立問題”與“存在問題”：a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。而存在問題正好相反，若存在x0使a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值，存在x0使a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導(dǎo)數(shù)中的“恒成立問題”與“存在問題”轉(zhuǎn)化為求最值問題，避免對含參不等式的討論，簡化運算，是一種很實用的解題方法。
四、教學(xué)語言要有啟發(fā)性，以激發(fā)學(xué)生思考
啟發(fā)性的教學(xué)語言可以引發(fā)學(xué)生積極思考，幫助學(xué)生打開思路，加深理解教學(xué)內(nèi)容。所以，教師在課堂授課時，應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)問題情境，盡量使用簡單且能激發(fā)學(xué)生思維的語言，尤其當有學(xué)生表示對教師所講知識有不同見解時，教師應(yīng)讓其表明立場、共同分析，促使學(xué)生在回答問題時感到由衷的滿足并獲得知識的提升，主動參與到課堂的研討之中。
例.已知f（？茲）=■sin？茲+cos？茲，？茲∈[0，■]求f（？茲）的最大值與最小值。
當化簡f（？茲）=2sin（？茲+■）后，“因為？茲∈[0，■]，現(xiàn)在我把0代入f（？茲）可得最小值，把■代入f（？茲）可得最大值?！苯處熣T導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。
“不行?！焙芏鄬W(xué)生都看出了問題。
“為什么不行，你們不是常用代值法嗎！”
“f（？茲）在[0，■]上不是單調(diào)函數(shù)?！?/p>
“對，函數(shù)在區(qū)間上如果不是單調(diào)函數(shù)，就不能用代端點值求值域，應(yīng)畫圖求值域?！苯處熢诤诎灏逖菡_解法。
五、贊揚、激勵性的語言會讓課堂教學(xué)充滿活力
教師可通過激勵性的語言對學(xué)生進行評價，不失時機地給不同層次的學(xué)生以充分的肯定、鼓勵和贊揚，使學(xué)生在心理上獲得自尊、自信和成功的體驗，幫助學(xué)生認識自我、建立自我。
例如，當學(xué)生回答對問題后，教師應(yīng)夸獎學(xué)生，“非常好，聽課很認真”“解法很獨特，很新穎”“分析得很有條理，該注意的地方都注意到了”“反應(yīng)很快，思維很敏捷”；當學(xué)生答題出錯時，教師不能挖苦、諷刺，而應(yīng)鼓勵其繼續(xù)思考，“再想想，大方向?qū)α?，但分析得還不夠透徹，細節(jié)沒注意到”“沒關(guān)系，大膽地說，這個問題一定難不倒你”。
第7篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
關(guān)鍵詞：新課改；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；研究分析
高中數(shù)學(xué)屬于一門自然學(xué)科，它與人們的生產(chǎn)生活息息相關(guān)，在現(xiàn)實生活中解決很多問題都需要數(shù)學(xué)思維，因此學(xué)校應(yīng)該重視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，創(chuàng)新高校數(shù)學(xué)教學(xué)模式、優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高高中數(shù)學(xué)的整體教學(xué)質(zhì)量和水平。
一、新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究的重要意義
一方面，通過對新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，有利于學(xué)生主動去分析問題、思考問題、解決問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要意義就在于能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)和做題的效率，學(xué)生通過逆向思維推導(dǎo)能夠熟練掌握各類數(shù)學(xué)問題的問法，并且總結(jié)出規(guī)律，清晰的掌握解題思路，達到熟能生巧的境界。另一方面，通過對新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，不僅能夠有效提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和水平，同時還能優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)果，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)整體水平。
二、新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀以及存在的問題
現(xiàn)階段，雖然我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)取得了一定的成果，并且有了實質(zhì)性的突破，但在實際發(fā)展的過程中，仍然存在諸多問題，具體表現(xiàn)如下：
（一）高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式單一。與初中數(shù)學(xué)教學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的難度更高，設(shè)計的知識面也較為廣泛，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要是以教師為主體，學(xué)生始終處于被動接受和學(xué)習(xí)的地位，教師與學(xué)生之間毫無交流，學(xué)生只能通過死記硬背學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)致學(xué)生的積極性和主動性無法提高。
（二）高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源匱乏。高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源十分有限，學(xué)生只能通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本知識進行學(xué)習(xí)，教師在進行課堂教學(xué)的過程中，一味的書寫黑板，羅列各種數(shù)學(xué)知識點，學(xué)生每天抄襲黑板，死記硬背。教師在教學(xué)的過程中沒有與生活實際相結(jié)合，一味注重理論的講授，而忽視了實踐教學(xué)的重要性，沒有給學(xué)生思考的空間。
（三）高中數(shù)學(xué)教學(xué)自身素質(zhì)有待提高。很多高中數(shù)學(xué)教師自身素質(zhì)和專業(yè)化水平程度不高，只是通過了教師資格證考試，但沒有進行實際講課考核，這導(dǎo)致很多高中數(shù)學(xué)教師的能力有限，不能深入的對數(shù)學(xué)教材進行講解，數(shù)學(xué)基本知識掌握的不扎實、不到位，從而直接影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效果的實現(xiàn)[1]。
三、新課改下提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平的有效策略
（一）創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式。學(xué)校應(yīng)該創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式，采用不同種類的教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心，采用興趣教學(xué)法、案例教學(xué)法、探究教學(xué)法等多種方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。例如：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及這樣一道問題：已知，圓X2+Y2=25，點N（5，0），過點N作出一條弦CD，求三角形0CD的最小值。這道經(jīng)典例題主要有三種方法，（1）作出一條直線CD的傾斜角表示三角形OCD，然后用這種方法進行計算，求結(jié)果的話計算量十分大。（2）從點O作出一條到CD的距離為，標記點為M，然后根據(jù)直角三角形OCM中的勾股定理，先求出半弦長，求三角形OCD的面積這種方法教學(xué)簡單。（3）利用正余弦定理，設(shè)角COD為90°的時候，三角形OCD的面積最小，這種方法是最簡單的。由此可見，學(xué)校應(yīng)該做到與時俱進、開拓創(chuàng)新，在實踐的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，在創(chuàng)新的基礎(chǔ)上實踐，通過讓學(xué)生學(xué)習(xí)不同的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和想象能力，使其真正愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
（二）豐富高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，學(xué)校可以引進先進的教學(xué)設(shè)備，例如：多媒體設(shè)備、電子交互白板等先進技術(shù)，從而豐富高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和水平。如在學(xué)習(xí)《勻速直線運動》這一課程的時候，教師可以先用多媒體技術(shù)展示蝸牛爬行速度、運動員跑步速度、火車運行速度等，然后讓學(xué)生理解速度這一含義，用V表示，得出S（距離）=V（速度）t（時間）的等量關(guān)系，然后解決實際數(shù)學(xué)中的水流問題、船速問題、路程問題、追擊問題等內(nèi)容，讓學(xué)生能夠舉一反三，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力[2]。
（三）提高高中教學(xué)自身素質(zhì)。教師應(yīng)該轉(zhuǎn)變自身教學(xué)方法和教學(xué)觀念，樹立學(xué)生是課堂主體的教學(xué)理念，重視學(xué)生在整個數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要性和必要性，從而努力提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師應(yīng)該與學(xué)生之間多進行互動交流， 將快速的解題方法傳授給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。與此同時，學(xué)校應(yīng)該組織對教師進行二次培訓(xùn)，努力提高其自身素質(zhì)和專業(yè)化水平。
綜上所述，新課改下提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平其優(yōu)勢是顯而易見的，不僅能夠提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量和水平，同時還能優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果。總之，新課改下提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平需要三者的共同努力，只有這樣才能使學(xué)生真正愛上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)！
參考文獻：
第8篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思維障礙
思維是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接的反映，反映的是事物的本質(zhì)及內(nèi)部的規(guī)律性。所謂高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是指學(xué)生在對高中數(shù)學(xué)感性認識的基礎(chǔ)上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數(shù)學(xué)內(nèi)容而且能對具體的數(shù)學(xué)問題進行推論與判斷，從而獲得對高中數(shù)學(xué)知識本質(zhì)和規(guī)律的認識能力。高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的形成是建立在對高中數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的；發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn)的。然而，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，我們經(jīng)常聽到學(xué)生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手；有時，在課堂上待我們把某一問題分析完時，常?？吹綄W(xué)生拍腦袋：“唉，我怎么會想不到這樣做呢？”事實上，有不少問題的解答，同學(xué)發(fā)生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學(xué)生無法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自于我們教學(xué)中的疏漏，而更多的則來自于學(xué)生自身，來自于學(xué)生中存在的非科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維模式。因此，研究高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙對于增強高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的針對性和實效性有十分重要的意義。
1. 高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成原因 根據(jù)布魯納的認識發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學(xué)是要通過已知的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)，對“從外到內(nèi)”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學(xué)生能從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學(xué)過程中，教師不顧學(xué)生的實際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學(xué)生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。因此，如果教師的教學(xué)脫離學(xué)生的實際；如果學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，其新舊數(shù)學(xué)知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學(xué)生對所學(xué)知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產(chǎn)生思維障礙，影響學(xué)生解題能力的提高。
2. 高中數(shù)學(xué)思維障礙的具體表現(xiàn) 由于高中數(shù)學(xué)思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，高中數(shù)學(xué)思維障礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：
（1）數(shù)學(xué)思維的膚淺性：由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的去理解，一般的學(xué)生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質(zhì)。由此而產(chǎn)生的后果：1〉學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問題時，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。例如在課堂上我曾要求學(xué)生證明：如| a |≤1，| b |≤1，則 。讓學(xué)生思考片刻后提問，有相當一部分的同學(xué)是通過三角代換來證明的（設(shè)a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1， | b |≤1（事后統(tǒng)計這樣的同學(xué)占到近20%）。這恰好反映了學(xué)生在思維上的膚淺，把兩個毫不相干的量（a，b）建立了具體的聯(lián)系。2〉缺乏足夠的抽象思維能力，學(xué)生往往善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問題，而對那些不具體的、抽象的數(shù)學(xué)問題常常不能抓住其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)模型或過程去分析解決。
例：已知實數(shù)x、y滿足 ，則點P（x ， y）所對應(yīng)的軌跡為（ ）（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線。在復(fù)習(xí)圓錐曲線時，我拿出這個問題后，學(xué)生一著手就簡化方程，化簡了半天還看不出結(jié)果就再找自己運算中的錯誤（懷疑自己算錯），而不去仔細研究此式的結(jié)構(gòu) 進而可以看出點P到點（1，3）及直線x+y+1=0的距離相等，從而其軌跡為拋物線。
（2）數(shù)學(xué)思維的差異性：由于每個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學(xué)生對于同一數(shù)學(xué)問題的認識、感受也不會完全相同，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的偏頗。這樣，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負實數(shù)x，y滿足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解決這個問題時，如對x、y的范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易產(chǎn)生錯誤。另一方面學(xué)生不知道用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、方法為依據(jù)進行分析推理，對一些問題中的結(jié)論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調(diào)控，從而造成障礙。如函數(shù)y= f （x）滿足f（2+x）=f（2-x）對任意實數(shù)x都成立，證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱.對于這個問題，一些基礎(chǔ)好的同學(xué)都不大會做（主要反映寫不清楚），我就動員學(xué)生看書，在函數(shù)這一章節(jié)中找相關(guān)的內(nèi)容看，待看完奇、偶函數(shù)、反函數(shù)與原函數(shù)的圖象對稱性之后，學(xué)生也就能較順利的解決這一問題了。
（3）數(shù)學(xué)思維定勢的消極性：由于高中學(xué)生已經(jīng)有相當豐富的解題經(jīng)驗，因此，有些學(xué)生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據(jù)新的問題的特點作出靈活的反應(yīng)，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。如：z∈c，則復(fù)數(shù)方程 所表示的軌跡是什么？可能會有不少學(xué)生不假思索的回答是橢圓，理由是根據(jù)橢圓的定義。又如剛學(xué)立體幾何時，一提到兩直線垂直，學(xué)生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。
由此可見，學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展，而且也不利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的提高。所以，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中注重突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙就顯得尤為重要。
3. 高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的突破 （1）在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學(xué)生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學(xué)生認知水平的個性差異，強調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮灶，也就是更大程度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學(xué)生進一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對不同學(xué)生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學(xué)生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
例：高一年級學(xué)生剛進校時，一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學(xué)生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學(xué)生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學(xué)生普遍（包括基礎(chǔ)差的學(xué)生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：
1〉求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
2〉求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
3〉求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。
（2）重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，也不是對應(yīng)用能力的評價，數(shù)學(xué)意識是指學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學(xué)意識落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時，我們應(yīng)該加強數(shù)學(xué)意識教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識帶動雙基，將數(shù)學(xué)意識滲透到具體問題之中。如：設(shè)x2+y2=25，求u= 的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形： 轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形容易求得u∈[6，6]，這里對u的適當變形實際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識在起作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強數(shù)學(xué)意識的教學(xué)，如“因果轉(zhuǎn)化意識”“類比轉(zhuǎn)化意識”等的教學(xué)，才能使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手、從容作答。所以，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識是突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的一個重要環(huán)節(jié)。
（3）誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)是我們的教學(xué)活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到極其重要的作用。
例如：在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的奇偶性”后，學(xué)生在判斷函數(shù)的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設(shè)計如下問題：判斷函數(shù) 在區(qū)間[2 6，2a]上的奇偶性。不少學(xué)生由f（x）=f（x）立即得到f（x）為奇函數(shù)。教師設(shè)問：①區(qū)間[2 6，2a]有什么意義？②y=x2一定是偶函數(shù)嗎？通過對這兩個問題的思考學(xué)生意識到函數(shù) 只有在a=2或a=1即定義域關(guān)于原點對稱時才是奇函數(shù)。
使學(xué)生暴露觀點的方法很多。例如，教師可以與學(xué)生談心的方法，可以用精心設(shè)計的診斷性題目，事先了解學(xué)生可能產(chǎn)生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學(xué)生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設(shè)置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學(xué)生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學(xué)生討論，從錯誤中引出正確的結(jié)論，這樣學(xué)生的印象特別深刻。而且通過暴露學(xué)生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學(xué)生在思維活動中只會“按部就班”的傾向，在教學(xué)中還應(yīng)鼓勵學(xué)生進行求異思維活動，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、獨立思考的方法，不滿足于用常規(guī)方法取得正確答案，而是多嘗試、探索最簡單、最好的方法解決問題的習(xí)慣，發(fā)展思維的創(chuàng)造性也是突破學(xué)生思維障礙的一條有效途徑。
當前，素質(zhì)教育已經(jīng)向我們傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求。但只要我們堅持以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)展為己任，則勢必會提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，真正減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負擔，從而為提高高中學(xué)生的整體素質(zhì)作出我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的貢獻。
參考文獻
[1] 任樟輝《數(shù)學(xué)思維論》（90年9月版）
第9篇：高中數(shù)學(xué)求最小值的方法范文
一、在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中,必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況
在講解新知識時,要嚴格遵循學(xué)生認知發(fā)展的階段性特點,照顧到學(xué)生認知水平的個性差異,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教師可以幫助學(xué)生進一步明確學(xué)習(xí)的目的性,針對不同學(xué)生的實際情況,因材施教,分別給他們提出新的更高的奮斗目標,提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
如:高一年級學(xué)生剛進校時,一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容,而對二次函數(shù)中最大、最小值尤其是對含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、最小值的求法,學(xué)生普遍感到比較困難。為此我作了如下題型設(shè)計:
(1)求出下列函數(shù)在x∈[0,3]時的最大、最小值:①y=(x-1)2+1,②y=(x+1)2+1,③y=(x-4)2+1
(2)求函數(shù)y=x2-2ax+a+2,x∈[0,3]時的最小值。
(3)求函數(shù)y=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值。
上述設(shè)計層層遞進,每做完一題,適時指出解決這類問題的要點,大大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
二、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識
數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時對自身行為的選擇,它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用,也不是對應(yīng)用能力的評價,是指學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時該做什么及怎么做。至于做得好壞,當屬技能問題,有時一些技能問題不是學(xué)生不懂,而是不知怎么做才合理,有的學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題,首先想到的是套那個公式,模仿那道做過的題目求解,對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手,無法解決,這是數(shù)學(xué)意識落后的表現(xiàn)。
數(shù)學(xué)教學(xué)中,在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時,我們應(yīng)該加強數(shù)學(xué)意識教學(xué),指導(dǎo)學(xué)生以意識帶動雙基,將數(shù)學(xué)意識滲透到具體問題之中。如:設(shè)x2+y2=25,x+y=u,求u的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路,u的取值范圍不大容易求,但適當對u進行變形,轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形容易求得這里對u的適當變形實際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識在起作用。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強數(shù)學(xué)意識的教學(xué),如“因果轉(zhuǎn)化意識”“類比轉(zhuǎn)化意識”等的教學(xué),才能使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手、從容作答。
三、誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架,消除思維定勢的消極作用
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們不僅僅是傳授數(shù)學(xué)知識,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)是我們的教學(xué)活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架,包括結(jié)論、例證、推論等,對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到極其重要的作用。
例如:在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的奇偶性”后,學(xué)生在判斷函數(shù)的奇偶性時常忽視定義域問題,為此我們可設(shè)計如下問題:判斷函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的奇偶性。不少學(xué)生由f(-x)=
-f(x)立即得到f(x)為奇函數(shù)。教師設(shè)問:①區(qū)間[2,6]有什么意義?②y=x。一定是偶函數(shù)嗎?通過對這兩個問題的思考學(xué)生意識到函數(shù)只有在定義域關(guān)于原點對稱時才討論奇偶性。
