不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用精選(九篇)
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第1篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
一、函數(shù)與方程思想
函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容之重點(diǎn),應(yīng)用廣泛,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具,在高考中占據(jù)非常重要的地位。因此,在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生如何建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖像、性質(zhì)去分析問(wèn)題,解決問(wèn)題。
例1已知x∈(0,+∞) ,求證:
根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助函數(shù) ,此時(shí),若均值不等式取最值時(shí)等號(hào)不成立,常?？紤]利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。
二、分類(lèi)討論思想
分類(lèi)討論是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分,在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),當(dāng)在整個(gè)范圍內(nèi)不易解決時(shí),往往可以將這個(gè)大范圍劃分成若干個(gè)小范圍來(lái)討論研究。分類(lèi)討論只能確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),必須堅(jiān)持不重不漏的原則。
例2.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|。
(1)求f(x)的最小值;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),x∈(a,+∞)解不等式h(x)≥1
評(píng)注:分類(lèi)討論的關(guān)鍵是要根據(jù)問(wèn)題實(shí)際找到分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),本題函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值,所以首先必須分類(lèi)討論去絕對(duì)值,其次在解不等式中必須對(duì)判別式進(jìn)行討論,當(dāng)>0時(shí)還需討論根的大小。分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定須使任何兩類(lèi)交集為空集且并集為全集, 這樣才能在解題過(guò)程中,做到分類(lèi)合理, 并力求最簡(jiǎn)。
三、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象與具體的反映。數(shù)形結(jié)合思想,其實(shí)質(zhì)是將代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)結(jié)合起來(lái),通過(guò)對(duì)圖形的處理,實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化。解題時(shí)要充分進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換,借助數(shù)的邏輯推演與形的直觀特性求解,既直觀又深刻。
例3.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸,B原料不超過(guò)18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是多少?
作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo),經(jīng)驗(yàn)證知;
當(dāng)x=3,y=5時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元。
評(píng)注:本題從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組模型,用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,使學(xué)生從中體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)。
四、轉(zhuǎn)化或化歸思想
等價(jià)轉(zhuǎn)化是把復(fù)雜、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題的一種重要的思想方法。諸如代數(shù)中的恒等變形,幾何中的圖形變換等都是化歸思想的具體運(yùn)用。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果,因此在轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果必須是充分必要的。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí),我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,運(yùn)用轉(zhuǎn)化或化歸,可以化難為易,駕輕就熟,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的針對(duì)性和靈活性。
例4.當(dāng)x∈R時(shí),不等式m+cos2x
第2篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
關(guān)鍵詞：函數(shù)與方程思想，中學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)用
一、前言
在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)與方程思想是其中的重要組成部分，而且是非常復(fù)雜難學(xué)的部分。但是，對(duì)函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中是非常重要的，它不僅有助于培養(yǎng)和提離學(xué)生分析問(wèn)題的能力，還能提高學(xué)生的綜合能力和想象力。
二、函數(shù)與方程思想的概述
1.函數(shù)思想
把某個(gè)變化過(guò)程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問(wèn)題，這就是函數(shù)思想；
2.應(yīng)用函數(shù)思想解題
確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個(gè)步驟：
2.1根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題；
2.2根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題；
2.3方程思想：在某變化過(guò)程中，往往需要根據(jù)一些要求。確定某些變量的值，這時(shí)常常列出這些變量的方程或（方程組），通過(guò)解方程（或方程組）求出它們。這就是方程思想。
3.函數(shù)思想
所謂函數(shù)思想，不僅僅是使用函數(shù)的方法來(lái)研究和解決函數(shù)的問(wèn)題，它的精髓是運(yùn)用函數(shù)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的觀點(diǎn)、方法，是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使用函數(shù)方法來(lái)解決問(wèn)題的思想。
函數(shù)思想的運(yùn)用指的是運(yùn)用建立變量之間的聯(lián)系的方法來(lái)思考問(wèn)題和解決問(wèn)題。函數(shù)思想是數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)到變量數(shù)學(xué)的樞紐，它能使數(shù)學(xué)有效地揭示事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映事物之間的聯(lián)系。它具有凝聚數(shù)學(xué)概念和命題、原則和方法的能力，使教學(xué)內(nèi)容達(dá)到更高層次的和諧與統(tǒng)一，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線、重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。
三、函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用
1.函數(shù)思想在方程、不等式知識(shí)當(dāng)中的應(yīng)用
事實(shí)上，代數(shù)式可以看作帶有變量的函數(shù)表達(dá)式。求代數(shù)式的值就是求特定的函數(shù)值；方程實(shí)際上就是求已知函數(shù)滿(mǎn)足一定條件的變數(shù)值，使在該變數(shù)值上已知函數(shù)有某個(gè)預(yù)先指定的值，特別是函數(shù)值為零時(shí)的自變量的值：不等式可以視為求函數(shù)的誤差估計(jì)；如此―來(lái)，就把方程和不等式都統(tǒng)一到函數(shù)的范疇中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函數(shù)和二次三項(xiàng)式的特殊情況。下面的例題更加說(shuō)明了函數(shù)知識(shí)在解算式、不等式以及方程時(shí)的重要作用。
解析： 這是一道通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)求算式的值的問(wèn)題，如何通過(guò)對(duì)題中所給的式子的形式的研究，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，從而使看似復(fù)雜的問(wèn)題得到解決，是本題的關(guān)鍵。
不等式問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，有些不等式采用常規(guī)的方法難以解決，若能夠根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，喚起聯(lián)想，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)的問(wèn)題，借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，常能使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明了的解決。
2.函數(shù)思想在數(shù)列知識(shí)當(dāng)中的應(yīng)用
數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式都可以看成 n的函數(shù)，也可以看成方程或方程組，比如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以看一次函數(shù)，而其求和公式可看成是二次函數(shù)，因此，許多數(shù)列問(wèn)題可以用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分析，加以解決。
3.函數(shù)思想在三角知識(shí)當(dāng)中的應(yīng)用
三角函數(shù)是高中教學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶和橋梁，且與高等數(shù)學(xué)密切相關(guān)。三角函數(shù)是函數(shù)部分的延伸和深化，它既有一般函數(shù)的特征（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、奇偶性、單調(diào)性等），同時(shí)又兼顧自身的鮮明的特點(diǎn)（如周期性等），尤其在處理三角問(wèn)題時(shí)“變”的因素始終貫穿前后。用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是它的一大特色。變中求勝是解決三角問(wèn)題的一條原則。
4.函數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用
從廣義的角度看，曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合：一個(gè)二元方程的解可以做點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二次方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集。方程與曲線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的確立，進(jìn)一步把“曲線”與“方程”之間的數(shù)行關(guān)系辯證的統(tǒng)一起來(lái)，從而為我們用坐標(biāo)法去研究幾何圖形問(wèn)題奠定了重要的理論基礎(chǔ)。
在解析幾何中常遇到動(dòng)態(tài)型的問(wèn)題。在變化過(guò)程中，存在兩個(gè)變量，我們常常把某一個(gè)看做自變量，另一個(gè)看做自變量的函數(shù)，通過(guò)明確函數(shù)的解析式，利用函數(shù)思想來(lái)研究和處理問(wèn)題。
解析： 解析幾何的選擇題和填空題可優(yōu)先選用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解，但也不是萬(wàn)能的方法。用數(shù)形結(jié)合法解本題時(shí)，畫(huà)出圖像后會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a0時(shí)，圓與拋物線的關(guān)系由于畫(huà)的是草圖，則不易直觀判斷，還是應(yīng)代數(shù)的方法來(lái)解決。本題解法所體現(xiàn)的函數(shù)（方程）思想是從設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，列方程和不等式開(kāi)始的。通過(guò)消參得到不等式，對(duì)這個(gè)不等式解集范圍的研究轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，最后求得a的取值范圍。
5.運(yùn)用函數(shù)、方程思想解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題
函數(shù)與方程思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，是高考所要考察的熱點(diǎn)之一。從近幾年高考應(yīng)用題來(lái)看，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，一般從以下幾方面考慮：
5.1閱讀理解材料，這一步要達(dá)到的目標(biāo)是：讀懂題目所敘述的實(shí)際問(wèn)題 的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)定義，理順題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，對(duì)照平時(shí)掌握的數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5.2建立函數(shù)關(guān)系：根據(jù)5.1的分析，把實(shí)際問(wèn)題“用字母、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來(lái)，建立起函數(shù)或方程關(guān)系。
5.3討論變量的性質(zhì)：根據(jù)5.2所建立的函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)模型，結(jié)合題目要求，討論模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得目標(biāo)明確、有針對(duì)性的理論參數(shù)值。
5.4作出問(wèn)題的結(jié)論：根據(jù)35.所獲得的理論參數(shù)值，結(jié)合題目要求作出合乎題意的相應(yīng)的結(jié)論。
四、結(jié)語(yǔ)
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程是其中的核心知識(shí)，函數(shù)和方程概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的部分，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。因此，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)和方程思想的重要性，提高學(xué)生的綜合能力，從而達(dá)到素質(zhì)教育的根本要求。
參考文獻(xiàn)
[1]陳婷，劉玉勝，李曼生 函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J] 《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》 -2011年12期-
[2]胡慧芳 談新課標(biāo)下函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J] 《成才之路》 -2011年9期-
第3篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
人們常有一種片面的觀點(diǎn)，認(rèn)為高校里所學(xué)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中幾乎無(wú)用，其理由是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，在研究問(wèn)題和處理問(wèn)題的方式上存在著較大的區(qū)別．其實(shí)這是一種誤解，正因?yàn)橛羞@樣的區(qū)別，才使我們從中學(xué)數(shù)學(xué)的解題思維定式中走出來(lái)，用一種更深遠(yuǎn)的眼光來(lái)看中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題．
高等代數(shù)不僅是初等數(shù)學(xué)的延拓，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，只有很好的掌握高等代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)才能適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展和教材改革．高等代數(shù)知識(shí)在開(kāi)闊視野，指導(dǎo)中學(xué)解題等方面的作用尤為突出．下面就來(lái)探討一些高等代數(shù)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用．
2 線性相關(guān)[1]在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
初等數(shù)學(xué)中的某些問(wèn)題看起來(lái)比較復(fù)雜，甚至難以下手，但用線性相關(guān)的方法卻顯得比較簡(jiǎn)單，通過(guò)從多方面多角度的思考能提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
2.1 求代數(shù)式的取值范圍
初等數(shù)學(xué)中某些線性相關(guān)問(wèn)題，若采用一般的初等解題方法不相關(guān)地去看待，則會(huì)使計(jì)算繁難，且容易出錯(cuò);利用高等數(shù)學(xué)中線性相關(guān)的思想方法來(lái)處理，則會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決．
運(yùn)用線性相關(guān)知識(shí)研究函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，研究對(duì)象常以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，解決這一類(lèi)型的問(wèn)題往往采用新舊結(jié)合，或以新方法解決舊問(wèn)題．
2.3 解決某些二元不定方程
例3 利有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲3件，購(gòu)乙7件，丙1件，共需315元，若
購(gòu)甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，現(xiàn)購(gòu)甲、乙、丙各1件，共需多少元？
答: 甲乙丙各購(gòu)1件，共需105元．
3 行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多題涉及到了對(duì)一些因式的分解，雖然中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多方法可以解決．但對(duì)于某些問(wèn)題如果構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的行列式，然后用行列式的性質(zhì)去解決，會(huì)起到事半功倍的效果．
3.1 應(yīng)用于因式分解
從上面兩個(gè)例子可以看出，解此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造行列式，以行列式為橋梁，把原型變形為不同的行列式，再利用行列式的性質(zhì)加以解題．
4 矩陣應(yīng)用于數(shù)列問(wèn)題
利用矩陣的性質(zhì)和定理，可以很好的解決某些數(shù)列問(wèn)題．
在此例題中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質(zhì)，輕而易舉地求出了通項(xiàng)公式．
5 柯西施瓦茲不等式在解中學(xué)不等式中的應(yīng)用
從上例可知，使用柯西—施瓦茲不等式重要的是構(gòu)造一個(gè)合適的歐氏空間，特別是構(gòu)造內(nèi)積運(yùn)算，并找到兩個(gè)合適的向量．
6 結(jié)束語(yǔ)
第4篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，除對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，也能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題上起到居高臨下和以簡(jiǎn)化繁的作用。看如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問(wèn)題：如函數(shù)單調(diào)性、最值等函數(shù)問(wèn)題；在掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作出特殊函數(shù)的圖象；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)所具有的幾何意義對(duì)切線相關(guān)問(wèn)題及平行問(wèn)題等幾何問(wèn)題進(jìn)行了一些探討，并最終運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值；甚至在解決應(yīng)用問(wèn)題，物理問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題有起到了舉足輕重的作用！
1 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線
例：求曲線y=xx-2過(guò)點(diǎn)(1，－1)處的切線方程。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0) ，相應(yīng)的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
2 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．
(Ⅰ)當(dāng)a＝－3時(shí)，求證：f(x)在R上是減函數(shù)；
(Ⅱ)如果對(duì)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)
解：(Ⅰ)當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，
f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，f(x)在R上是減函數(shù)．
(Ⅱ)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，即x∈R不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，
x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，x∈R 2x－1≤0不恒成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立，即2X＝4＋12a≤0， a≤-13
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0不恒成立．綜上，a的取值范圍是（-∞，-13）
3 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間［-13，14］的最大值和最小值．
析：先求f′(x)= 0的所有實(shí)數(shù)根；再對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值
解：f(x)的定義域?yàn)椋?32，+∞）。
(Ⅰ)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2（2x+1）（x+1）2x+3。
當(dāng)-32＜x＜-1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)-1＜x＜-12時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞-12時(shí)，f′(x)＞0；
從而，f(x)分別在區(qū)間（-32，-1），（-12，+∞）單調(diào)增加，在區(qū)間（-1，-12）單調(diào)減少．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間［-34，14］的最小值為f（-12）=1n2+14.又f（-34）-f（14）=1n32+916-1n72-116=1n37+12=12（1-1n496）＜0，所以f(x)在區(qū)間［-34，14］的最大值為f（14）=116+1n72。
4 導(dǎo)數(shù)在不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用
不等式的證明常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容綜合，特別是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及歷屆高考試題中，我們常遇到一些不等式的證明，很難找到切入點(diǎn)。這時(shí)我們不妨轉(zhuǎn)換角度，從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，從而使不等式得到證明。
用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式，步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性或最值轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系得出結(jié)論。
一般地，若f（x）、g（x）在［a，b］連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，要證明f（x）>g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，要證明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即證明了f（x）>g（x）。
5 導(dǎo)數(shù)在物理問(wèn)題的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用問(wèn)題是一顆璀璨的“明珠”，可謂常考常新，縱觀近幾年的各地高考數(shù)學(xué)試卷應(yīng)用問(wèn)題仍然受到命題者的青睞.其中它與導(dǎo)數(shù)的綜合，更是一曲優(yōu)美的“交響樂(lè)”，成為高考中的“新寵”.以導(dǎo)數(shù)為背景的應(yīng)用題，由于它們?cè)谥R(shí)上具有綜合性，題型上具有新穎性，解題時(shí)需要開(kāi)動(dòng)學(xué)者的發(fā)散性思維！另外，在物理學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，比如工程上很多實(shí)際的問(wèn)題都會(huì)有相關(guān)應(yīng)用，求水壩斜面的壓強(qiáng)等等，考慮到微分的思想，需要積分類(lèi)的都會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的思想。
6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用
如需求彈性：設(shè)需求函數(shù)Q=f(P), 這里P表示產(chǎn)品的價(jià)格. 于是, 可具體定義該產(chǎn)品在價(jià)格為P時(shí)的需求彈性如下：
n=n(P)=1imQ/QP/P=1imQP•=PQ=P•f′(P)f(P)，當(dāng)P很小時(shí)， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•QP，故需求彈性n近似地表示在價(jià)格為P時(shí), 價(jià)格變動(dòng)1%, 需求量將變化n%, 通常也略去"近似"二字.
例：某商品的需求函數(shù)為Q=75-P2(Q為需求量, P為價(jià)格).
(1) 求P=4時(shí)的邊際需求, 并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.
(2) 求P=4時(shí)的需求彈性, 并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.
(3) 當(dāng)P=4時(shí), 若價(jià)格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?
(4) 當(dāng)P=6時(shí), 若價(jià)格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?
第5篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
關(guān)鍵詞：柯西不等式；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)
中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）25-137-02
在自然界中，不等量關(guān)系是普遍存在的，是最基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，不等式在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要作用?？挛鞑坏仁绞怯?9世紀(jì)數(shù)學(xué)家（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)的，柯西不等式出現(xiàn)中學(xué)課本中，是中學(xué)生解決一系列疑難問(wèn)題的法寶。為讓學(xué)生對(duì)柯西不等式有更好的認(rèn)識(shí)、了解，本文從特殊到一般的介紹柯西不等式，對(duì)柯西不等式的一般形式做證明，再給出柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的一些典型案例。
柯西不等式――初等中學(xué)的形式
一、二維形式的柯西不等式
1、二維形式的柯西不等式
若 都是實(shí)數(shù)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。
2、柯西不等式的向量形式
設(shè) 是兩個(gè)向量，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量時(shí)，或存在實(shí)數(shù) ，使 時(shí)，等號(hào)成立。
3、一般形式的柯西不等式
設(shè) 都是實(shí)數(shù)，則 ――（1）
當(dāng)且僅當(dāng) 或存在實(shí)數(shù) ，使得 時(shí)，等號(hào)成立。
二、柯西不等式的應(yīng)用
1、利用用柯西不等式證明恒等式
用柯西不等式取等號(hào)的條件或者兩邊夾逼的方法證明某些恒等式。
例1、已知 ，求證： 。
證明：由柯西不等式
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。即 ，得 。
2、利用柯西不等式證明一些不等式
觀察欲證不等式的特征，結(jié)合已知條件，對(duì)照柯西不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，構(gòu)造柯西不等式的兩組數(shù)，用柯西不等式來(lái)證明不等式，往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。
例2、已知 ，且 ，求證
證明：因?yàn)?/p>
，
利用柯西不等式證明時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出柯西不等式的兩個(gè)適當(dāng)數(shù)組，常用的技巧是“1”和常數(shù)的變化轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想。
3、利用柯西不等式求某些函數(shù)的最值
例3、已知 ，求 的最小值。
解：
由柯西不等式： ，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，所以 。
例4、求函數(shù) ， 的最大值。
解：因?yàn)?，所以 。由柯西不等式得：
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)。
4、利用柯西不等式解某些方程
不等式中的等號(hào)成立的時(shí)候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等號(hào)的充分必要條件解方程。
求方程 的解。
解：方程可變形為： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)，解得 。
5、柯西不等式在解析幾何方面的應(yīng)用
例6、直線 與橢圓 相切，求切點(diǎn)坐標(biāo) 。
解：因?yàn)?所以，由柯西不等式得：
。
當(dāng)且僅當(dāng) 即 ，代入 ，解得 ，所以 。
6、利用柯西不等式解三角和幾何問(wèn)題
例7、在半徑為 的圓內(nèi)，求周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形。
解析：假設(shè)出變量表示長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，得出目標(biāo)函數(shù)，在利用柯西不等式求解。
解：設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形 的長(zhǎng) 、寬為 ，于是長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng) ，由柯西不等式得：
。當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取等號(hào)。此時(shí)寬為 即內(nèi)接長(zhǎng)方形 為正方形時(shí)，周長(zhǎng)最大為 。
7、利用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍
例8、已知正數(shù) 滿(mǎn)足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范圍。
解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范圍。
解：因?yàn)?/p>
，所以 的取值范圍 。
柯西不等式在中學(xué)階段，雖然只是選講內(nèi)容，但在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，引起了教師教學(xué)的重視。柯西不等式不僅應(yīng)用于證明代數(shù)不等式，它在實(shí)數(shù)大小比較、解方程、確定參數(shù)的取值范圍、求最值及幾何不等式的證明等方面都有廣泛的應(yīng)用。
運(yùn)用柯西不等式的過(guò)程中，要求我們要以敏銳的思維，細(xì)致的觀察，構(gòu)造出適合柯西不等式的兩組數(shù)，以便可以使用柯西不等式。這是學(xué)生拓寬知識(shí)，打開(kāi)思維的鑰匙，是解決一系列問(wèn)題的法寶。
參考文獻(xiàn)：
[1] 劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)選修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.
第6篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)軸；不等式；統(tǒng)計(jì)初步
數(shù)學(xué)是一門(mén)研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，而數(shù)與形是相互聯(lián)系的，數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是把復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和簡(jiǎn)單的圖形相結(jié)合，化抽象為直觀，化難為易。數(shù)形結(jié)合的思想，其應(yīng)用包含兩點(diǎn)：“形”中覓“數(shù)”和“數(shù)”上構(gòu)“形”。但這兩點(diǎn)又不是彼此獨(dú)立的，而是互相聯(lián)系的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維，數(shù)學(xué)探索需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)和突破口。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。縱觀這幾年來(lái)的中考試題，利用數(shù)形結(jié)合思想解題比比皆是。因此，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生逐步建立這種數(shù)形結(jié)合的思想，以期達(dá)到提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。
數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，進(jìn)行形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用，使多種思維互相促進(jìn)，和諧發(fā)展的主要形式；數(shù)形結(jié)合教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，但是數(shù)形結(jié)合的思想方法不像有的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾次課的教學(xué)就可以掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師也應(yīng)該向?qū)W生不斷滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)觀察、類(lèi)比、分析、綜合、抽象和概括，養(yǎng)成主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)。
數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，主要體現(xiàn)在數(shù)軸的應(yīng)用、二元一次方程的圖像解法、函數(shù)、三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步和圓等。它們的教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的引入、展開(kāi)和升華。在代數(shù)問(wèn)題的解決中，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式若賦予其幾何意義，往往變得非常直觀形象，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。這種數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)化，同時(shí)還可以大大拓展我們的解題思路，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。本文將從三個(gè)方面就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想講講自己的看法。
一、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)軸的導(dǎo)入是實(shí)數(shù)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的佐證。直線是無(wú)數(shù)個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)構(gòu)成的，而實(shí)數(shù)包含了正負(fù)實(shí)數(shù)和零。正是基于這樣的共同特點(diǎn)，我們將直線上無(wú)數(shù)個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)用來(lái)表示實(shí)數(shù)，這時(shí)直線上就有了方向、原點(diǎn)與單位長(zhǎng)度，這條直線就稱(chēng)作數(shù)軸。數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)實(shí)數(shù)，從而建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)軸建立后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)軸對(duì)有理數(shù)的大小進(jìn)行比較，通過(guò)觀察、分析，學(xué)生得出結(jié)論。我們通常說(shuō)數(shù)軸右側(cè)為正方向，對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，右側(cè)的數(shù)一定大于左側(cè)的數(shù)。
二、不等式內(nèi)容蘊(yùn)藏的數(shù)形結(jié)合思想
在講授不等式內(nèi)容時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式解集的理解，教師需要在數(shù)軸上將不等式解集一一表示出來(lái)，使學(xué)生能直觀地看到，不等式的解有無(wú)限多個(gè)。數(shù)在數(shù)軸上一一表現(xiàn)出來(lái)較為簡(jiǎn)單，而要將數(shù)集在數(shù)軸上表示出來(lái)，則又比在數(shù)軸上表示數(shù)更進(jìn)了一步。歸根結(jié)底，利用數(shù)軸表示不等式解集更加直觀有效。
三、列方程解應(yīng)用題中隱含的數(shù)形結(jié)合思想
對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，在列方程解應(yīng)用題這一內(nèi)容中，較難的是根據(jù)題目給出的已知條件找到等量關(guān)系列出方程，這時(shí)候就要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)單的圖形。比如：教材中的相遇問(wèn)題、勞動(dòng)力調(diào)配問(wèn)題等。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師必須不斷滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學(xué)生在遇到這些問(wèn)題時(shí)，能迅速產(chǎn)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，依據(jù)題意畫(huà)出示意圖，幫助學(xué)生迅速找出等量關(guān)系列出方程，從而突破難點(diǎn)。
此外，值得注意的是，教師在教學(xué)過(guò)程中，要結(jié)合生活中的實(shí)際問(wèn)題，反復(fù)滲透強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，并能注意一些基本原則，如是知“形”確定“數(shù)”還是知“數(shù)”確定“形”。在探索規(guī)律的過(guò)程中，應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而總結(jié)出相關(guān)的結(jié)論。在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，要想到它的圖形，從而啟發(fā)思維找到解題思路。在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。
不難看出，在中學(xué)階段數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題時(shí)確實(shí)起到了非常重要的作用，數(shù)形結(jié)合不僅能使概念形化、使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化，還能幫助學(xué)生理解各種公式，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，擴(kuò)展其思維，更好地展現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合可以使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，也可以使圖形的性質(zhì)，通過(guò)數(shù)量的計(jì)算、分析，使之更加完整、嚴(yán)密、準(zhǔn)確。數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，依形想數(shù)可使幾何問(wèn)題代數(shù)化，由數(shù)想形可使代數(shù)問(wèn)題幾何化。數(shù)形結(jié)合相輔相成，既有利于開(kāi)拓解題思路，又有利于發(fā)展思維能力。由此可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中有著十分重要的地位，它是數(shù)學(xué)思想方法的核心。對(duì)于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)而言，能否始終遵循這一思想是數(shù)學(xué)教學(xué)是否成熟的關(guān)鍵。我們每個(gè)教師在平時(shí)的教學(xué)中都應(yīng)有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，并不斷研究滲透的策略和方法，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提供切實(shí)的幫助。
參考文獻(xiàn)：
第7篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
一、注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)
初中的數(shù)學(xué)內(nèi)容較小學(xué)教學(xué)內(nèi)容更系統(tǒng)和深入,涉及面更廣。因此,教師在教學(xué)中應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué),幫助學(xué)生打下厚實(shí)的基礎(chǔ),以利于學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。首先應(yīng)該擺正師生關(guān)系,在中國(guó)的教育當(dāng)中一直強(qiáng)調(diào)著“師道尊嚴(yán)”。教師在課堂上一般都是居高而上,普遍都是教師在講臺(tái)上講,學(xué)生在下面埋頭“消化”教師講的知識(shí)點(diǎn)。教師掌握著上課的節(jié)奏,這樣學(xué)生顯得很被動(dòng)。在初中不等式教學(xué)當(dāng)中涉及很多的知識(shí)點(diǎn),學(xué)生僅僅知道一些公式而不會(huì)運(yùn)用是教學(xué)的一種失敗?；A(chǔ)知識(shí)在教學(xué)當(dāng)中就顯得尤為重要。不等式的解題方式多樣,內(nèi)容豐富,技巧性較強(qiáng)并且要依據(jù)題設(shè)、題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法,就要熟悉解題中的推理思維,需要掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)。而這一切都是建立在學(xué)生有夯實(shí)的基礎(chǔ)之上的。學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)的話,在解不等式題時(shí)就步履維艱。
夯實(shí)的基礎(chǔ)來(lái)源于學(xué)生對(duì)不等式概念知識(shí)的掌握和運(yùn)用,而概念的形成有一個(gè)從具體到表象再到抽象的過(guò)程。對(duì)不等式抽象概念的教學(xué),更要關(guān)注概念的實(shí)際背景和學(xué)生對(duì)概念的掌握程度。數(shù)學(xué)的概念也是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ),學(xué)生學(xué)習(xí)不等式知識(shí)點(diǎn)也是從概念的學(xué)習(xí)開(kāi)始的。所以在不等式教學(xué)探究中教師應(yīng)注重學(xué)生的基礎(chǔ)。
二、注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納和整理
提高初中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)效果,首先要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)的精神,通過(guò)尋求不同思維達(dá)到解題效果來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去對(duì)數(shù)學(xué)不等式知識(shí)進(jìn)行探究,通過(guò)結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),以幫助學(xué)生完成更深入地?cái)?shù)學(xué)知識(shí)探究。同時(shí)初中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生歸納能力提出了較高的要求。靈活使用概念能夠幫助學(xué)生熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)不等式這一章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的掌握歸納和整理進(jìn)行綜合的運(yùn)用從而能夠成功地解題。例如,在含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)中:解關(guān)于x的不等式2+a0時(shí),解集是;(2)當(dāng)-2≤a<0時(shí),解集為空集;(3)當(dāng)a<-2時(shí),解集為。當(dāng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和整理后,學(xué)生也就不會(huì)馬失前“題”。
三、 開(kāi)發(fā)學(xué)生的解題技巧,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力
第8篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和解決問(wèn)題，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用。日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后，如果沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)后不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。所以突出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的必然要求，也是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要體現(xiàn)，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法也是一個(gè)十分重要的問(wèn)題．
2001年我國(guó)新一輪基礎(chǔ)教育課程改革已正式啟動(dòng),此次基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)之一就是把數(shù)學(xué)思想方法作為課程體系的一條主線。已經(jīng)有不少文章探討初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法，但對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法探討較少。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)教材的改革也已經(jīng)開(kāi)始醞釀，目前高中普遍使用的數(shù)學(xué)教材是人教社2000年版的《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（試驗(yàn)修定本）•數(shù)學(xué)》（下稱(chēng)普通教材），也有部分高中根據(jù)學(xué)生的情況選用了原國(guó)家教委的《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（試驗(yàn)本•必修•數(shù)學(xué)）》（下稱(chēng)實(shí)驗(yàn)教材）?？梢哉f(shuō)在素質(zhì)教育推動(dòng)下，與舊數(shù)學(xué)教材相比這兩套新教材在內(nèi)容、結(jié)構(gòu)編排上都有了很大變化，都體現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)教育觀念，而在原國(guó)家教委的《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》中尤其突出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了知識(shí)教學(xué)和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。本文就著重探討高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并對(duì)實(shí)驗(yàn)教材與普通教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面進(jìn)行比較。
二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)該滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法
1、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法
數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法目前尚沒(méi)有確切的定義，我們通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想就是“人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想”。就中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系而言，中學(xué)數(shù)學(xué)思想往往是數(shù)學(xué)思想中最常見(jiàn)、最基本、比較淺顯的內(nèi)容，例如：模型思想、極限思想、統(tǒng)計(jì)思想、化歸思想、分類(lèi)思想等。數(shù)學(xué)思想的高層次的理解，還應(yīng)包括關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，任何一個(gè)數(shù)學(xué)分支理論的建立，都是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用與體現(xiàn)。
所謂數(shù)學(xué)方法，是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻，更抽象地反映了數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)是逐層抽象的，數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往具有過(guò)程性和層次性特點(diǎn)，層次越低操作性越強(qiáng)。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等等。
總之，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有區(qū)別也有聯(lián)系，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總的指導(dǎo)思想是把問(wèn)題化歸為能解決的問(wèn)題，而為實(shí)現(xiàn)化歸，常用如一般化、特殊化、類(lèi)比、歸納、恒等變形等方法，這時(shí)又常稱(chēng)用化歸方法。一般來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱(chēng)數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱(chēng)數(shù)學(xué)方法。
2、高中數(shù)學(xué)應(yīng)該滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法
中學(xué)數(shù)學(xué)教育大綱中明確指出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指：數(shù)學(xué)中的的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)容，而這些數(shù)學(xué)思想方法是融合在數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、定義之中的。
在初中數(shù)學(xué)中，主要數(shù)學(xué)思想有分類(lèi)思想、集合對(duì)應(yīng)思想、等量思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)思想和轉(zhuǎn)化思想。與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法有理論形成的方法，如觀察、類(lèi)比、實(shí)驗(yàn)、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問(wèn)題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數(shù)、分析、綜合等方法。這些數(shù)學(xué)思想與方法，在義務(wù)教材的編寫(xiě)中被突出的顯現(xiàn)出來(lái)。
在高中數(shù)學(xué)教材中，一方面以抽象性更強(qiáng)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從更高層次延續(xù)初中涉及的那些數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)應(yīng)用，如函數(shù)與映射思想、分類(lèi)思想、集合對(duì)應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)思想和化歸思想等。另一方面，結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)，介紹了一些新的數(shù)學(xué)思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。
因?yàn)槠渲幸恍?shù)學(xué)思想方法都介紹很多了，這里只談一下初等微積分的基本思想方法。無(wú)窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，把考察的對(duì)象（例如圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積等）看作是某對(duì)象（內(nèi)接正n邊形的面積、勻速運(yùn)動(dòng)的物體的速度，小矩形面積之和）在無(wú)限變化過(guò)程中變化結(jié)果的思想（方法），它出發(fā)于對(duì)過(guò)程無(wú)限變化的考察，而這種考察總是與過(guò)程的某一特定的、有限的、暫時(shí)的結(jié)果有關(guān)，因此它體現(xiàn)了“從在限中找到無(wú)限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來(lái)”（恩格斯語(yǔ)）的一種運(yùn)動(dòng)辨證思想，它不僅包括極限過(guò)程，而且又完成了極限過(guò)程。縱觀微積分的全部?jī)?nèi)容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎(chǔ)
三、普通教材與實(shí)驗(yàn)教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面的比較
普通高中教育是與九年義務(wù)教育相銜接的高一層次基礎(chǔ)教育，在數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)上，必須要注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和終身學(xué)習(xí)的能力。與舊教材相比，新的數(shù)學(xué)教材開(kāi)始重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，那么高中現(xiàn)行使用的普通教材與實(shí)驗(yàn)教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面有何異同呢？因?yàn)閮?nèi)容太多，下面只能粗略的作一比較。
1、相同之處在于
普通教材與實(shí)驗(yàn)教材都多將數(shù)學(xué)思想方法的展示，融合在數(shù)學(xué)的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過(guò)集合的定義“把某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合”，及通過(guò)用集合語(yǔ)言來(lái)表述問(wèn)題，體現(xiàn)了集合思想方法來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀性，深刻性，簡(jiǎn)潔性。對(duì)非常重要的數(shù)學(xué)思想方法也采用單獨(dú)介紹的方式，如普通教材與實(shí)驗(yàn)教材都將歸納法列為一節(jié)，詳細(xì)學(xué)習(xí)。
2、不同之處在于
（1）有些在普通教材中隱含方式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，在實(shí)驗(yàn)教材中被明確的指出來(lái)，并用以指導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的展開(kāi)。
關(guān)于數(shù)學(xué)方法
我們舉不等式證明方法的例子。實(shí)驗(yàn)教材在不等式一章第三節(jié)“證明不等式”中詳細(xì)講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節(jié)“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對(duì)方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時(shí)我們可以用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。”而在實(shí)驗(yàn)教材更準(zhǔn)確更詳細(xì)的介紹：“依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知的不等式，正確運(yùn)用邏輯推理規(guī)律，逐步推導(dǎo)出所要證明的不等式的方法，稱(chēng)為綜合法。綜合法實(shí)質(zhì)上是“由因?qū)Ч钡闹苯诱撟C，其要點(diǎn)是：四已知性質(zhì)、定理、出發(fā)，逐步導(dǎo)出其“必要條件”，直到最后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實(shí)驗(yàn)教材中給出了分析法實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”的說(shuō)明，這樣學(xué)生能清楚的領(lǐng)會(huì)綜合法、分析法的要義，會(huì)證不等式的同時(shí)學(xué)會(huì)了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個(gè)不等式。
關(guān)于數(shù)學(xué)思想
在實(shí)驗(yàn)教材第一冊(cè)（下）研究性課題“函數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用”中，明確提出“把一個(gè)看上去不是明顯的函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)、或者構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，利用研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解決給出的問(wèn)題，就是函數(shù)思想”，并舉例用函數(shù)思想解決最值問(wèn)題、方程、不等式問(wèn)題，及一些實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題。其實(shí)普通教材在講函數(shù)時(shí)也在用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，分析研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻劃并加以研究，但從未提函數(shù)思想方法。雖然實(shí)驗(yàn)教材中只是以研究性課題的形式，對(duì)函數(shù)思想作以介紹和應(yīng)用探討，可這已經(jīng)是一種重視數(shù)學(xué)思想方法的信號(hào)，隨著今后素質(zhì)教育的推進(jìn)，和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累，我想數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教材中會(huì)有更明確的介紹。我們舉向量的例子。
（2）實(shí)驗(yàn)教材中還增加了一些數(shù)學(xué)思想方法的介紹。
關(guān)于數(shù)學(xué)方法
普通教材在第一冊(cè)第三章“數(shù)列”中只介紹了數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列及其求和，而在實(shí)驗(yàn)教材第二冊(cè)（下）的第十章“數(shù)列”中增加了第四節(jié)“數(shù)列應(yīng)用舉例”介紹了作差，將某些復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉(zhuǎn)化的思想。又如在第一冊(cè)（上）中，增加了研究性課題“待定系數(shù)法的原理、方法及初步應(yīng)用”，閱讀材料“插值公式與實(shí)驗(yàn)公式”，雖然不是作為正式章節(jié)，但也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視。再如數(shù)學(xué)歸納法普通教材介紹的相當(dāng)簡(jiǎn)略，而實(shí)驗(yàn)教材詳細(xì)介紹了什么是歸納法，歸納法的結(jié)論是否一定正確，什么是數(shù)學(xué)歸納法歸納起始命題等問(wèn)題，還舉了大量例子，切實(shí)注重讓學(xué)生真正理解方法。
關(guān)于數(shù)學(xué)思想
實(shí)驗(yàn)教材中對(duì)向量，解析幾何的處理體現(xiàn)了將向量思想，幾何代數(shù)化思想的引入，并用這些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的介紹。實(shí)驗(yàn)教材在第六章“平面向量”開(kāi)首就講：“代數(shù)學(xué)的基本思想方法是運(yùn)用運(yùn)算律去系統(tǒng)地解答各種類(lèi)型的代數(shù)問(wèn)題；幾何學(xué)研究探索的內(nèi)容是空間圖形的性質(zhì)。……在這一章中，我們首先要把表達(dá)“一點(diǎn)相對(duì)另一點(diǎn)的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量……我們稱(chēng)之為向量，……這樣，我們就可以用代數(shù)的方法研究平面圖形性質(zhì)，把各種各樣的幾何問(wèn)題用向量運(yùn)算的方法來(lái)解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“……，位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報(bào)要研究的向量。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一。向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識(shí)更新還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理、等學(xué)科中的很多問(wèn)題。這一章里，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用?！憋@然實(shí)驗(yàn)教材是從數(shù)學(xué)思想方法的高度來(lái)引入向量，這也使后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以以此為線索，體現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一。實(shí)驗(yàn)教材在第六章“平面向量”之后，緊接著設(shè)置了第七章“直線和圓”，從第七章的內(nèi)容提要中我們看出這樣設(shè)計(jì)是有良苦用心的。內(nèi)容提要如下：“人們對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)和理解，總是要經(jīng)過(guò)逐步深化的過(guò)程和不斷推進(jìn)的階段。對(duì)于空間的認(rèn)識(shí)和理解，就是先有實(shí)驗(yàn)幾何，然后推進(jìn)到推理幾何，理推進(jìn)到解析幾何。在第六章，我們引進(jìn)了平面向量，并且建立了向量的基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)，把平面圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為得量的運(yùn)算和運(yùn)算律，從而奠定了空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化的基礎(chǔ)；再通過(guò)向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了從推理幾何到解析幾何的轉(zhuǎn)折。解析幾何是用坐標(biāo)方法研究圖形，基本思想是通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程等聯(lián)系起來(lái)，從而達(dá)到形與數(shù)的結(jié)合，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行研究和解決。”并且在后面直線的方程、直線的位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離幾節(jié)中都自然而然的延續(xù)了向量的思想和方法，使直線的學(xué)習(xí)連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊(cè)（下）的第五章設(shè)為“平面向量”，在第二冊(cè)（上）的第七章才設(shè)置“直線和圓的方程”，中間隔了不等式一章，并且在內(nèi)容上，也沒(méi)有將向量與直線方程聯(lián)系起來(lái)，關(guān)于法向量、點(diǎn)直線點(diǎn)法式方程都沒(méi)有講，只是隨后設(shè)置了“向量與直線”的閱讀材料簡(jiǎn)單介紹法向量、直線間的位置關(guān)系。
四、重視數(shù)學(xué)思想方法，深化數(shù)學(xué)教材改革
1、在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
這主要是指定義、定理公式的教學(xué)。一是不簡(jiǎn)單下定義。數(shù)學(xué)的概念既是數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果。概念教學(xué)不應(yīng)簡(jiǎn)單地給出定義，而是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想方法。二是定理公式介紹中不過(guò)早下結(jié)論，可能的話展示定理公式的形成過(guò)程，給教師、學(xué)生留有參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程的機(jī)會(huì)。
2、在解決問(wèn)題方法的探索中激活數(shù)學(xué)思想方法
①注重解題思路的數(shù)學(xué)思想方法分析。在例題、定理證明活動(dòng)中，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。如運(yùn)用類(lèi)比、歸納、猜想等思想，發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，學(xué)會(huì)用化歸思想指導(dǎo)探索論證途徑等。
②增強(qiáng)解題的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)。解題的思維過(guò)程都離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)是開(kāi)通解題途徑的金鑰匙。將解題過(guò)程從數(shù)學(xué)思想高度進(jìn)行提煉和反思，并從理論高度敘述數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生真正理解掌握數(shù)學(xué)思想方法，產(chǎn)生廣泛遷移有重要意義。3、在知識(shí)的總結(jié)歸納過(guò)程中概括數(shù)學(xué)思想方法，以數(shù)學(xué)思想方法為主線貫穿相關(guān)知識(shí)
概括數(shù)學(xué)思想方法可以從某個(gè)概念、定理、公式和問(wèn)題教學(xué)中縱橫歸納，反過(guò)來(lái)也可以以數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)知識(shí)，
總之，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教材中，應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，不失時(shí)機(jī)的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生方能在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，這也是素質(zhì)教育的要求。
摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，不失時(shí)機(jī)的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。本文著重探討高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并對(duì)實(shí)驗(yàn)教材與普通教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面進(jìn)行比較。通過(guò)比較我們看到，《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》中更突出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了知識(shí)教學(xué)和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。并且我們必須重視數(shù)學(xué)思想方法，深化數(shù)學(xué)教材改革，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，切實(shí)實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的要求。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教材
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第9篇：不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文
一、引言
自笛卡爾創(chuàng)造了平面直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合的思想就得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。數(shù)學(xué)家華羅庚曾就說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，有極大的探索研究空間。本文將通過(guò)實(shí)際的案例分析，展示出數(shù)形結(jié)合這一思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。
二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合本質(zhì)上是通過(guò)將符號(hào)語(yǔ)言“數(shù)”，圖形語(yǔ)言“形”進(jìn)行結(jié)合轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得到解決。“形”主要提供研究的對(duì)象和輔助思考的工具，而“數(shù)”則是為研究提供必要的工具、方法、視角。兩者之間的結(jié)合具有雙重含義?？蓮V泛應(yīng)用于函數(shù)、解析幾何、不等式等多個(gè)方面。
1.由“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的應(yīng)用。“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)。有些數(shù)量比較抽象，難以把握，而“形”具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)解決問(wèn)題的重要作用。
例1.不等式■≥x的解為m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.
問(wèn)題分析：本題看似是一道以“數(shù)”表現(xiàn)出的求解不等式的問(wèn)題，即求解得■-x=0的根，而解題誤區(qū)在于m，n的值和方程的根的關(guān)系。若不應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，便極易出錯(cuò)，而解題者卻難以察覺(jué)。
解：作曲線C：y=■，直線l：y=x，如圖1所示，顯然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，
即n=■.根據(jù)|m-n|=2a.
得■+a=2a，解得a=2.
例2.實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。
問(wèn)題分析：通過(guò)觀察y/x的幾何意義，發(fā)現(xiàn)y/x即為點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率k，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，題目就比較簡(jiǎn)單明了。
解：繪制圖2可觀察到，直線m與圖中圓相離，直線l與圓相切，直線n與圓相交，α為直線l與x軸的夾角。觀察圖形可知，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線與圓相切，且直線只在一三象限時(shí)，斜率k的值最大。設(shè)直線方程y=kx，則圓心（3，0）到直線l的距離為d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值為■.
除了通過(guò)距離公式求斜率，學(xué)生還可以應(yīng)用直角三角形性質(zhì)，構(gòu)造下式：
k=tanα=■=■.
問(wèn)題小結(jié)：在數(shù)學(xué)解題中，方法至關(guān)重要，同一道題目可能有多種解決辦法，學(xué)生需要不斷地思考探索，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提高自身的學(xué)習(xí)素質(zhì)。
2.由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的應(yīng)用。雖然“形”有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量計(jì)算問(wèn)題方面還必須借助代數(shù)方法，尤其是對(duì)于較抽象的“形”。在解題過(guò)程中，不但要把圖形數(shù)字化，而且還要注意觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中隱含的條件，充分利用圖形的性質(zhì)與幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，并對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。
例3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是橢圓■+y■=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S=x+y的最大值。
問(wèn)題分析：拿到此類(lèi)題目，初始想法與本文中例2類(lèi)似，一是對(duì)橢圓的方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，配出x+y；二是作橢圓的圖形，觀察圖形性質(zhì)。實(shí)際操作可發(fā)現(xiàn)，兩種思路的可操作性低，應(yīng)當(dāng)另辟思路。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圓錐曲線占有重要地位。題中■+y■=1為橢圓一般式，而橢圓的另一種表現(xiàn)形式圓錐曲線參數(shù)方程，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，可以作為一種思路。
解：因橢圓■+y■=1的參數(shù)方程為x=■cosφy=sinφ，（φ為參數(shù)）。故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■cosφ，sinφ），其中0≤φ
因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■時(shí)，S取最大值2。
問(wèn)題小結(jié)：對(duì)于某些問(wèn)題，采用單純的幾何和代數(shù)方法，都無(wú)法使問(wèn)題得到妥善的解決。但根據(jù)圓錐曲線參數(shù)方程，將平面上的點(diǎn)代數(shù)化，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，能更好地解決問(wèn)題。此過(guò)程展現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化。
