HPM的初等數(shù)論緒論課教學(xué)設(shè)計(jì)

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摘要：從hpm的視角研究了關(guān)于初等數(shù)論緒論課的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。首先從初等數(shù)論的課程價(jià)值及教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，介紹了初等數(shù)論的主要內(nèi)容及學(xué)科發(fā)展簡(jiǎn)史。其次，簡(jiǎn)單介紹了幾個(gè)重要數(shù)論難題，了解這些難題的研究狀況。最后，通過(guò)數(shù)學(xué)名著及相關(guān)人物，介紹了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就及國(guó)外古代數(shù)學(xué)的成果，讓數(shù)學(xué)史料融入初等數(shù)論的教學(xué)中，使學(xué)生能從整體上對(duì)初等數(shù)論有個(gè)初步認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)史；初等數(shù)論；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、引言

初等數(shù)論以整除為基礎(chǔ)，研究整數(shù)性質(zhì)和方程（組）整數(shù)解，是近代數(shù)學(xué)中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等數(shù)論課程是我校小學(xué)教育（理科方向）和數(shù)學(xué)教育專業(yè)的專業(yè)必修課，學(xué)生通過(guò)本課程中基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，掌握初等數(shù)論的基礎(chǔ)內(nèi)容，即算術(shù)基本理論和最大公約數(shù)理論；掌握初等數(shù)論的核心，即同余理論的基本知識(shí)；并能運(yùn)用整除理論和同余理論來(lái)求解幾類最基本的不定方程；掌握連分?jǐn)?shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)及其應(yīng)用；通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、分析、計(jì)算、推理等學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式；了解初等數(shù)論的價(jià)值，為學(xué)生以后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)論或從事教學(xué)工作打下基礎(chǔ)。然而，初等數(shù)論教材重在闡述數(shù)論理論知識(shí)的結(jié)果，忽視介紹知識(shí)的背景、發(fā)生與形成過(guò)程，某種意義上影響了該課程的教學(xué)質(zhì)量。針對(duì)初等數(shù)論課程的性質(zhì)，在緒論課中結(jié)合數(shù)學(xué)史知識(shí)，在HPM的視角下進(jìn)行緒論課的教學(xué)設(shè)計(jì)，HPM視角下的緒論課教學(xué)的目的在于將初等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史等其他知識(shí)銜接起來(lái)，盡量消除數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生體驗(yàn)初等數(shù)論的價(jià)值，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的使命感和目標(biāo)感，吸引更多的學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。HPM指的是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，其研究的最終目標(biāo)是提高數(shù)學(xué)教育水平，具體方法是通過(guò)在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)史。

二、初等數(shù)論的主要內(nèi)容

1．整除理論：整除理論是數(shù)論中最重要的基本內(nèi)容。本章首先簡(jiǎn)要介紹自然數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法，然后引進(jìn)整除的概念，利用帶余除法和輾轉(zhuǎn)相除法這兩個(gè)工具，建立最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的理論，進(jìn)一步研究素?cái)?shù)的基本性質(zhì)和極具重要性的算術(shù)基本定理。這一理論的主要成果有：算術(shù)基本定理、數(shù)的十進(jìn)制、高斯函數(shù)、費(fèi)馬數(shù)、梅森數(shù)、完全數(shù)等。2．同余理論：同余是初等數(shù)論的又一基本概念。同余概念的引入，使許多數(shù)論問(wèn)題的討論得到簡(jiǎn)化，極大地豐富了數(shù)論內(nèi)容，因而同余在數(shù)論中占有極為重要的地位．涉及內(nèi)容有同余及其基本性質(zhì)，剩余類與剩余系，歐拉定理和費(fèi)馬定理及其在循環(huán)小數(shù)和公開密鑰問(wèn)題上的應(yīng)用。3．不定方程：不定方程是數(shù)論中的一個(gè)古老分支，它有悠久的歷史與豐富的內(nèi)容．古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于3世紀(jì)初就研究過(guò)這樣的方程，所以不定方程又稱丟番圖方程．但實(shí)際上，我國(guó)對(duì)不定方程的研究從勾股方程的商高定理和費(fèi)馬大定理等低次代數(shù)曲線對(duì)應(yīng)的不定方程已經(jīng)延續(xù)了數(shù)千年。4．連分?jǐn)?shù)理論：引入了連分?jǐn)?shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分?jǐn)?shù)展開。主要成果：循環(huán)連分?jǐn)?shù)展開、最佳逼近問(wèn)題等。

三、初等數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)史

對(duì)數(shù)的崇拜和好奇是促使人們?nèi)パ芯繑?shù)的原始推動(dòng)力，這樣一門以整數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)為研究對(duì)象的學(xué)科也就誕生了，這就是數(shù)論。目前大多數(shù)人大致贊同數(shù)論的研究在內(nèi)容上是從數(shù)的可約性開始的。若“可約”，則它是一個(gè)整除性問(wèn)題；若“不可約”，則為余數(shù)問(wèn)題。因此，整除理論被稱為是數(shù)論中最古老的內(nèi)容。早在兩千多年前的古希臘歐幾里德的《幾何原本》中論述了數(shù)論的知識(shí)，例如歐幾里得證明了質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的，提出了求最大公約數(shù)的方法（即所謂歐幾里得算法）。我國(guó)古代在數(shù)論方面取得過(guò)輝煌的成就，現(xiàn)在一般數(shù)論書中被稱為“中國(guó)剩余定理”的孫子定理就起源于我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的下卷第26題。初等數(shù)論從早期發(fā)展起來(lái)后的近兩千年時(shí)間里，發(fā)展幾乎停滯不前，直到15世紀(jì)，費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等作了初等數(shù)論的研究工作，特別是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在前人研究的基礎(chǔ)上，發(fā)表了著作《算術(shù)探究》，在研究整數(shù)性質(zhì)過(guò)程中引進(jìn)并推廣了統(tǒng)一的符號(hào)，提出了同余理論，發(fā)現(xiàn)了二次互反律，開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。自二十世紀(jì)以來(lái)，由于現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展以及抽象數(shù)學(xué)和高等分析的應(yīng)用，進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展，并出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新的研究分支，開拓了應(yīng)用范圍，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)都得到了廣泛的應(yīng)用。

四、幾個(gè)著名的數(shù)論難題

歷史上遺留下來(lái)沒(méi)有解決的數(shù)論難題主要有：哥德巴赫猜想；費(fèi)爾馬大定理；孿生素?cái)?shù)問(wèn)題；完全數(shù)問(wèn)題等。1．哥德巴赫猜想：1742年德國(guó)人哥德巴赫提出了任何不小于6的偶數(shù)均可表示為不同的兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和（所謂的1＋1）的猜想。后人稱之為”哥德巴赫猜想”，此猜想表述簡(jiǎn)單，但證明的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的想象，比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。1900年德國(guó)大數(shù)學(xué)家希爾伯特在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上將“哥德巴赫猜想”列為第8個(gè)問(wèn)題（23個(gè)數(shù)學(xué)難題）的一部分。1973年中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)用自己提出的方法證明了命題（1＋2），即：一個(gè)足夠大的偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和，在世界數(shù)學(xué)界引起了強(qiáng)烈反響，這就是著名的“陳氏定理”。2．費(fèi)爾馬大定理：費(fèi)馬大定理又稱費(fèi)馬最后的定理，由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1637年前后提出，費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》時(shí)在第Ⅱ卷第八命題旁寫道：“一個(gè)立方不可能寫成兩個(gè)立方的和，一個(gè)四方不可能寫成兩個(gè)四方的和。一般地，每個(gè)大于2的冪不可能寫成兩個(gè)同次冪的和。”現(xiàn)在的表述方法為：“方程xn＋yn＝zn（n≥3）無(wú)非零整數(shù)解?！痹摂?shù)論難題由英國(guó)數(shù)學(xué)家AndrewWiles于1994年攻克。3．孿生素?cái)?shù)猜想：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p＋2也是素?cái)?shù)。素?cái)?shù)對(duì)（p，p＋2）稱為孿生素?cái)?shù)。1849年法國(guó)數(shù)學(xué)AlphonsedePolignac提出猜想：對(duì)于任何偶數(shù)2k，存在無(wú)窮多組以2k為間隔的素?cái)?shù)。對(duì)于k＝1，這就是孿生素?cái)?shù)猜想，而k等于其他自然數(shù)時(shí)就稱為弱孿生素?cái)?shù)猜想。2013年5月，華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素?cái)?shù)研究方面所取得的突破性進(jìn)展，他證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。4．完全數(shù)問(wèn)題：完美數(shù)又稱為完全數(shù)，最初是由畢達(dá)哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的，他們注意到，數(shù)6有一個(gè)特性，它等于它自己的因子（不包括它自身）的和，如：6＝1＋2＋3。下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28，28＝1＋2＋4＋7＋14。接著是496和8128。他們稱這類數(shù)為完美數(shù)。歐幾里德在大約公元前350－300年間證明了：若2n－1是素?cái)?shù)，則2n－1（2n－1）是完全數(shù)。目前已發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)都是偶完全數(shù)，有沒(méi)有奇完全數(shù)至今尚無(wú)定論。五、我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就1．周髀算經(jīng)：《周髀算經(jīng)》成書不晚于公元前2世紀(jì)西漢，是中國(guó)古代完整地流傳至今最早的一部天算著作。大約從東漢末期開始，人們已經(jīng)把這部書當(dāng)成是專門論述中國(guó)古代三大宇宙學(xué)說(shuō)之一———蓋天說(shuō)的理論著作。主要成就為提出了著名勾股定理的一個(gè)特殊情況———“勾三股四弦五”，并將勾股定理應(yīng)用于天文測(cè)量中。2．孫子算經(jīng)：《孫子算經(jīng)》原名《孫子算數(shù)》，作者名不詳，成書年代約為公元400年。現(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共上中下三卷。該書上卷是關(guān)于籌算法則的系統(tǒng)介紹，下卷則有著名的“物不知數(shù)”問(wèn)題（西方數(shù)學(xué)史稱其為”中國(guó)剩余定理”），亦稱“孫子問(wèn)題”，后發(fā)展為更一般的“大衍求一術(shù)”。3．算數(shù)書：《算數(shù)書》成書于公元前3世紀(jì)，是中國(guó)目前已發(fā)現(xiàn)的成書年代最早的算學(xué)著作，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近200多年。《算數(shù)書》在內(nèi)容、體例等方面對(duì)《九章算術(shù)》的產(chǎn)生有直接的影響?！端銛?shù)書》是一本數(shù)學(xué)問(wèn)題集，共有69個(gè)題名，完整的算題92個(gè)，單獨(dú)成題的6個(gè)。其主要成果為分?jǐn)?shù)約分、加減乘除四則運(yùn)算、比例等算術(shù)知識(shí)，也有面積公式、體積公式等幾何知識(shí)。4．九章算術(shù)：中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》成書于東漢時(shí)期，全書共方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，涉及分?jǐn)?shù)、面積體積、勾股定理等246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，問(wèn)題后有相應(yīng)解答。是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系形成的標(biāo)志，自此，中國(guó)數(shù)學(xué)家，大多是以《九章算術(shù)》作為教材、范本開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)?！毒耪滤阈g(shù)》以算籌為工具，以算法為主要內(nèi)容，以應(yīng)用問(wèn)題集為形式，與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成，其思想方法對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。5．海島算經(jīng)：中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽注解經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》之后附了一份問(wèn)題集，后整理成《海島算經(jīng)》，書中9題算例，涉及測(cè)高望遠(yuǎn)及其計(jì)算問(wèn)題。六、外國(guó)古代數(shù)學(xué)的豐碩成果1．萊因德紙草書：《萊因德紙草書》成書年代約為公元前1650年，是古埃及數(shù)學(xué)典籍，屬于世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。紙草書主要講述了古埃及的乘除法、單位分?jǐn)?shù)的用法，求圓面積問(wèn)題及一些數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用等。2．幾何原本：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》成為古西方應(yīng)用邏輯典范而影響深遠(yuǎn)。該書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題。第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷是數(shù)論，分別有39、27、36個(gè)命題，也完全用幾何的方式敘述，第Ⅶ卷第1命題是歐幾里得輾轉(zhuǎn)運(yùn)算法的出處。第Ⅸ卷第20命題是數(shù)論中的歐幾里得定理：素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)無(wú)窮多?！稁缀卧尽窂?個(gè)“不證自明的”公理和點(diǎn)、線等少數(shù)幾個(gè)原始定義出發(fā)，通過(guò)邏輯推理得出整個(gè)幾何體系，成為人類歷史上的科學(xué)杰作。3．算術(shù)：《算術(shù)》是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的一部代數(shù)著作，成書于公元3世紀(jì)。《算術(shù)》是一本問(wèn)題集，書中主要涉及一次或多次方程和二次不定方程代數(shù)問(wèn)題以及數(shù)論方面的問(wèn)題及解題方法，代表了古希臘代數(shù)思想的最高成就。該書丟番圖自稱共有13卷，但現(xiàn)僅存6卷，共有189題，幾乎一題一法，各不相同。并且，這部著作中引用了S、△r△、Kr等許多縮寫符號(hào)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)正是在丟番圖縮寫代數(shù)的啟示下才做出了符號(hào)代數(shù)的貢獻(xiàn)。4．代數(shù)學(xué)：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米著作《代數(shù)學(xué)》，書中給出了一元二次方程的一般解法及幾何論證，引進(jìn)了移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等代數(shù)運(yùn)算，指出了二次方程無(wú)（實(shí)）根的條件等等。全書由三部分組成，分別講述了初等代數(shù)、實(shí)用算術(shù)問(wèn)題和有關(guān)遺產(chǎn)繼承問(wèn)題。全書不使用代數(shù)符號(hào)，而是用語(yǔ)言敘述。5．幾何學(xué)：法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾1637年出版著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，其中一個(gè)附錄《幾何學(xué)》共分三編，提出了方程和曲線的思想，《幾何學(xué)》也成為了解析幾何經(jīng)典之作而被人們所接受。6．幾何基礎(chǔ)：德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特1899年出版著作《幾何基礎(chǔ)》，從此奠定了現(xiàn)代公理化方法。

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作者:杜先存 李玉龍 楊慧章 單位:紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院