數(shù)學(xué)建模的微分方程方法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

【關(guān)鍵詞】常微分方程；數(shù)學(xué)模型；建模

【基金項目】吉林省高教學(xué)會高教科研課題2016年度立項課題數(shù)學(xué)模型在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用研究（課題編號：JGJX2016D71）.

大學(xué)數(shù)學(xué)課程主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計算和證明數(shù)學(xué)問題.可是大部分學(xué)生會發(fā)現(xiàn)在面對實(shí)際問題時，他們還是不知道怎樣利用數(shù)學(xué)知識去解決.同時，還會覺得數(shù)學(xué)知識枯燥乏味、高深難懂，逐漸就失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和鉆研精神.這是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中普遍存在的問題，而且也是大學(xué)數(shù)學(xué)教師迫切需要解決的問題.

數(shù)學(xué)建模是一個創(chuàng)造性的思維鍛煉，它通過對實(shí)際問題進(jìn)行分析，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，在一些必要的簡化假設(shè)下轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)方法來求解.把數(shù)學(xué)建模的思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個行之有效的方法.一方面，通過數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生認(rèn)識到實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣；另一方面，在解決實(shí)際問題時，又必然要用到數(shù)學(xué)工具，從而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的動力.很多大學(xué)數(shù)學(xué)教師都在探索如何將數(shù)學(xué)建模的思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，以此調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

常微分方程是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一門與實(shí)際應(yīng)用緊密聯(lián)系的課程.常微分方程是由物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多的自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問題提出的，通過運(yùn)用微積分的理論及計算方法來研究常微分方程的解及解具有的性質(zhì).雖然常微分方程在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用，但是很多學(xué)生并不知道或者知之甚少，從而缺乏學(xué)習(xí)的動力和興趣.因此，在常微分方程課程中融入數(shù)學(xué)建模思想是必要的，也是可行的.若能把數(shù)W建模思想融入常微分方程的教學(xué)中，那么學(xué)生能夠深刻認(rèn)識到所學(xué)知識的用途，提高學(xué)習(xí)熱情，獲得良好的教學(xué)效果.

一、一階常微分方程的建模案例

程的解為

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是這個模型有一定的局限性，即隨著t的增加，人口數(shù)將以指數(shù)級增加，這是不現(xiàn)實(shí)的.出現(xiàn)這樣的情況是因為沒有考慮到環(huán)境容許的最大容量.但是這個模型可以描述某個地區(qū)短期的人口數(shù)量.事實(shí)上，這個模型與19世紀(jì)以前歐洲某些地區(qū)人口和遷往加拿大的歐洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程穩(wěn)定性理論的應(yīng)用舉例

在某些實(shí)際問題中，若關(guān)注的焦點(diǎn)不是每一時刻的狀態(tài)，而是當(dāng)時間充分長以后的狀態(tài)時，我們不需要求解問題，而可以利用常微分方程穩(wěn)定性理論，直接研究解在很長時間以后的狀態(tài)的穩(wěn)定性即可.

第2篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

關(guān)鍵詞：常微分方程 數(shù)學(xué)建模 人口預(yù)測

引言

縱觀微分方程的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、天文學(xué)以及日異月新的科學(xué)技術(shù)有著密切的聯(lián)系。牛頓在研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時候，就利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運(yùn)動的規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都證明微分方程在改造自然和認(rèn)識自然方面有著巨大的力量。微分方程是自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)組成的關(guān)系式。在解決實(shí)際問題的過程中，我們又得出了常微分方程的概念：如果在一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)中只含有一個自變量，那么這個方程則稱為常微分方程，也可以簡單的叫做微分方程.在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動過程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿足微分方程關(guān)系似的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數(shù)的性質(zhì)。常微分方程是解決實(shí)際問題的重要工具。

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例

微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用大體是：首先，建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)問題的目的、要求具體分析做出相應(yīng)的簡化和假設(shè)；然后按照規(guī)律列出微分方程，求出方程的解；最后將實(shí)際對象帶入結(jié)果中，對問題進(jìn)行描述、分析、預(yù)測和控制。

2.1人口指數(shù)增長模型

最簡單的人口增長模型是：記今年人口為，年后人口為，年增長率為，則(4.1)

這個公式的基本前提是年增長率保持不變。

二百多年前英國人口學(xué)家馬爾薩斯調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口的增長率是常數(shù)的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型。

記時刻的人口為，當(dāng)考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口時，是一個很大的整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻的人口為，假設(shè)人口增長率為常數(shù)，即單位時間內(nèi)的增量與的比例系數(shù)。考慮到時間內(nèi)人口的增量，顯然有

令取極限，得到滿足的微分方程(2.2)

由這個線性常系數(shù)微分方程很容易解出(2.3)

表明人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長()。因此，(2.3)式稱為人口指數(shù)增長模型，也稱為馬爾薩斯人口模型。

由微分學(xué)的理論知，當(dāng)時，．這樣將以年為單位離散化，由公式(2.3)得到前面所討論的公式(2.1)，即

由此可見公式(2.1)只是人口指數(shù)增長模型(2.3)的離散近似形式。

歷史上，人口指數(shù)增長模型與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個模型。另外，用它作短期人口預(yù)測可以得到較好的結(jié)果。這是因為在這些情況下，模型的基本假設(shè)“人口增長率是常數(shù)”大致成立。

但是長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù)測較長時期的人口演變過程，這是因為人口增長率事實(shí)上是不斷地變化著.排除災(zāi)難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般來說，當(dāng)人口較少時，其增長較快，即增長率較大；人口增加到一定數(shù)量后，增長就會慢下來，即增長率變小。因此為了使人口預(yù)測特別是長期預(yù)測能更好地符合實(shí)際情況，必須修改人口指數(shù)增長模型中關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個基本假設(shè)。

2.2人口阻滯增長模型

由于自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大，因此人口增長到一定數(shù)量后增長率會下降。人口阻滯增長模型就是考慮到這個因素。

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。若將表示為的函數(shù)，則它應(yīng)是減函數(shù)，于是方程(2.2)改寫為(2.7)

對的一個最簡單的假設(shè)是，設(shè)為的線性減函數(shù)，即(2.8)

這里稱為固有增長率，表示人口很少時（理論上是）的增長率。為了確定系數(shù)的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，稱為人口容量。當(dāng)時人口不再增長，即增長率，代入(2.8)式得.于是(2.8)式化為(2.9)

其中，是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù)，(2.9)式的另一種解釋是：增長率與人口尚未實(shí)現(xiàn)部分的比例成正比，比例系數(shù)為固有增長率。

將(2.9)式代入方程(2.7)得(2.10)

方程(2.10)右端因子體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，因子()則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用。顯然越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結(jié)果。方程(2.10)稱為人口阻滯增長模型，也稱為Logistic模型。

用分離變量法解方程(2.10)得(2.11)

用該預(yù)測模型對美國近兩個世紀(jì)人口的增長進(jìn)行模擬計算，除了19世紀(jì)中葉到20世紀(jì)中葉的擬合效果不很好外，其余部分?jǐn)M合的都不錯.

結(jié)論

通過以上的實(shí)例分析可以看出，常微分方程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來，對解決人口預(yù)測的問題有著非常重要的實(shí)際作用。本文所做的分析只是眾多應(yīng)用中的一個方面，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，有理由相信基于微分方程的數(shù)學(xué)建模有著更加廣闊的前景。

參考文獻(xiàn)

[1]常廣平.常微分方程的思想方法與應(yīng)用[J]

第3篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模就是指為了實(shí)現(xiàn)某一個特定的目標(biāo)，借助各類數(shù)學(xué)符號、公式以及圖表，將特定的客觀世界事物本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行表達(dá)的過程。數(shù)學(xué)建?？梢杂糜诮鉀Q生活中的很多實(shí)際問題，其利用實(shí)際事物之間的數(shù)量關(guān)系以及內(nèi)在規(guī)律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并借助數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，以達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。隨著計算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，在數(shù)學(xué)知識與計算機(jī)技能相結(jié)合下，數(shù)學(xué)建模思想在解決實(shí)際問題方面效果越來越明顯。

數(shù)學(xué)建模按照建立模型的數(shù)學(xué)方法可以分為初等模型、幾何模型、微分方程模型、統(tǒng)計回歸模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型等。按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法，可以分為確定性模型和隨機(jī)性模型，靜態(tài)模型和動態(tài)模型，線性模型和非線性模型，離散模型和連續(xù)模型。

數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)融合的必要性

數(shù)學(xué)建模思想對于打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式非常有效果，其能夠充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性和探究性。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生需要對教師提出的實(shí)際問題進(jìn)行分析、并借助數(shù)學(xué)知識將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后，構(gòu)建解決該數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，并最終得出模型的解決方法。這些過程中，學(xué)生的實(shí)際動手能力以及創(chuàng)新能力得到了顯著的提升。不僅如此，數(shù)學(xué)建模過程，并不是一個學(xué)生可以獨(dú)立完成的，其需要小組成員相互配合，依靠團(tuán)隊的力量共同完成。所以，數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生的團(tuán)隊合作能力也是有所增強(qiáng)。這對于學(xué)生將來的工作和生活都是有所幫助的。

數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1 數(shù)學(xué)概念以及定理教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中相關(guān)的數(shù)學(xué)概念有很多。而且，都具有很強(qiáng)的抽象性。例如：導(dǎo)數(shù)概念以及微積分概念等。解決生活中的實(shí)際問題很多都會用到導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)可以用來表示變速直線運(yùn)動的即時速度以及經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)中的成本變化率等。教師在教學(xué)過程中，可以對這些問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，在建模的過程中，引出導(dǎo)數(shù)的概念。

2 數(shù)學(xué)建模思想在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中，很多公式都是具有實(shí)際意義的。所以，教師在教學(xué)過程中，要盡量選取一些實(shí)際問題，并借助數(shù)學(xué)建模思想加以解決。例如：高等數(shù)學(xué)中涉及到的一階微分方程：

這個常微分方程可以用來表示某一生產(chǎn)企業(yè)的新產(chǎn)品銷售模型，同時，其也可以看做是銷售機(jī)構(gòu)的銷售模型，在生物研究領(lǐng)域，其亦被稱為是Logistic模型。是用來描述在某特定約束條件下，生物數(shù)量的增長情況。

3 實(shí)例分析

常微分方程是高等數(shù)學(xué)課程中的重要教學(xué)內(nèi)容，其是高等數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的重要手段。下面以實(shí)際例子對數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

例1：在產(chǎn)品供應(yīng)鏈中，甲廠是負(fù)責(zé)為乙廠生產(chǎn)零部件的。乙廠將甲廠生產(chǎn)的設(shè)備零件進(jìn)行組裝，制成成品，并進(jìn)行銷售。二者形成了供給關(guān)系。如果沒有甲廠的零配件，乙廠就無法進(jìn)行產(chǎn)品生產(chǎn)，面臨著供貨困難的局面。而甲廠需要靠提供零部件，來維持生產(chǎn)經(jīng)營，從中獲利。所以，二者是相互依存的關(guān)系?，F(xiàn)在利用數(shù)學(xué)模型討論二者之間的量化關(guān)系。

模型建立：假設(shè)甲廠生產(chǎn)的零配件數(shù)量為x（t），乙廠的產(chǎn)品數(shù)量為y（t），甲廠的零件生產(chǎn)增長率為r，乙廠產(chǎn)品生產(chǎn)能力為a，乙廠不依靠甲廠生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)率為d，甲廠供給乙廠生產(chǎn)零件的能力為b。則有：

微分方程組的求解通常在高等數(shù)學(xué)中往往局限于某幾種特定模型，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需求，該方程無解析解，可采用MATLAB進(jìn)行求解得到數(shù)值解。

從這個實(shí)例中我們看到了數(shù)學(xué)知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，微分方程知識的具體應(yīng)用，從提出問題到最終得到周期有規(guī)律的曲線都表明引入數(shù)學(xué)建模思想是使得高等數(shù)學(xué)教學(xué)具體化、形象化的有效工具。

結(jié)論

第4篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)方法 數(shù)學(xué)建模 線性代數(shù) 微課

在自然科學(xué)和社會科學(xué)的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學(xué)模型表示出來，而常微分方程是數(shù)學(xué)建模中最基本的工具。同時，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，對先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用。現(xiàn)我對于怎樣教好常微分方程這門課以達(dá)到該課程教學(xué)目的，提高教學(xué)質(zhì)量，談?wù)勔恍w會和看法。

一、讓學(xué)生了解常微分方程課程的特點(diǎn)，認(rèn)識到學(xué)好該課程的重要意義。

常微分方程是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論后續(xù)課程的基礎(chǔ)，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。課程本身既有嚴(yán)密的邏輯性，又有一定的應(yīng)用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應(yīng)用，使學(xué)生極易產(chǎn)生排斥心理。因此，講授這門課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學(xué)等相關(guān)學(xué)科的模型引入，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到這門課是解決實(shí)際問題的有力工具，提高學(xué)生對課程的興趣。

二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師要注意采用多種教學(xué)方法，不能為了趕教學(xué)進(jìn)度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學(xué)生陷入枯燥的學(xué)習(xí)中，進(jìn)而失去學(xué)好這門課的興趣。因此，教師在教學(xué)過程中既要充分發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，又要讓學(xué)生積極、主動地參與到教學(xué)中。比如，學(xué)習(xí)了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)中學(xué)時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡諧振動、共振現(xiàn)象的條件。

三、根據(jù)授課對象，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)增減，教學(xué)難度應(yīng)有所不同。

學(xué)生所學(xué)的專業(yè)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求不盡相同，因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生專業(yè)選擇授課內(nèi)容。比如，若授課對象是應(yīng)用數(shù)學(xué)或數(shù)理專業(yè)的學(xué)生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)基本數(shù)學(xué)定理的證明。若授課對象為金融數(shù)學(xué)專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應(yīng)用上，因此教師在授課中應(yīng)側(cè)重數(shù)值計算，復(fù)雜的定理推導(dǎo)可以僅介紹證明思路。此外，若教師在平時工作中注意收集相關(guān)實(shí)際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學(xué)中，則對促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高起到至關(guān)重要的作用。

四、注意本課程與其他課程的相互滲透。

常微分方程教學(xué)內(nèi)容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)理論和其他學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程問題。因此，教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。如學(xué)習(xí)求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時，若方程組的系數(shù)矩陣A（設(shè)為n階）恰好有n個線性無關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。此外，還可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線性代數(shù)的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進(jìn)行。

五、結(jié)合運(yùn)用多媒體技術(shù)。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理。因此，教師應(yīng)該把傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合起來，借助多媒體把板書內(nèi)容適當(dāng)變得有趣一些。如學(xué)習(xí)解的延拓時，可以用動態(tài)畫面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學(xué)生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學(xué)生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應(yīng)修改、補(bǔ)充。這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學(xué)生，又可以讓學(xué)生參與到課堂討論中。

六、將微課形式融入教學(xué)中。

近年來，微課在我國發(fā)展很快，這一新的教學(xué)形式逐漸成為教育信息化的熱點(diǎn)之一。它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學(xué)視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點(diǎn)。由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內(nèi)容都在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來，而且有些較難的知識點(diǎn)通過教師的講授可能還有部分學(xué)生無法掌握。因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點(diǎn)，將微課適當(dāng)引入教學(xué)中。例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學(xué)生自行學(xué)習(xí)。這樣可以讓學(xué)生充分利用課余時間學(xué)習(xí)這門課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造性。但需要注意的是，微課只是教學(xué)輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點(diǎn)選擇上還需教師反復(fù)推敲，在教學(xué)中適當(dāng)融入微課，才能達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

常微分方程是一門重要的基礎(chǔ)課程，隨著科技進(jìn)步，高校教師應(yīng)緊跟時代前進(jìn)步伐，更好地設(shè)置教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]胡鐵生.“微課”：區(qū)域教育信息資源發(fā)展的新趨勢[J].電化教育研究，2011（10）：61-65.

[3]楊晨.常微分方程教學(xué)改革探討[J].長春師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014（3）：167-169.

第5篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

關(guān)鍵詞：計算機(jī)電源仿真；動態(tài)系統(tǒng)；仿真模型

中圖分類號：TM727

動態(tài)系統(tǒng)計算機(jī)電源仿真是以計算機(jī)科學(xué)，概率論，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)論，系統(tǒng)工程理論等多學(xué)科為基礎(chǔ)的，以數(shù)學(xué)建模為主要手段的新型學(xué)科。電源動態(tài)系統(tǒng)計算機(jī)仿真是計算機(jī)仿真的一個分類，做好電源動態(tài)計算機(jī)的仿真對于真實(shí)系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化具有重要意義。

所謂計算機(jī)電源仿真主要指的是以計算機(jī)為主要工具，通過建立仿真模型來對計算機(jī)輸出信息進(jìn)行認(rèn)真分析和研究。計算機(jī)仿真技術(shù)的主要目的是對現(xiàn)有系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)評價和改進(jìn)優(yōu)化。計算機(jī)仿真技術(shù)在工程設(shè)計，計算機(jī)集成，網(wǎng)絡(luò)通訊方面應(yīng)用非常廣泛?；谟嬎銠C(jī)仿真技術(shù)的動態(tài)系統(tǒng)的計算機(jī)仿真技術(shù)則主要是對仿真對象的實(shí)際性能進(jìn)行科學(xué)評估和預(yù)測。

在動態(tài)計算機(jī)電源仿真技術(shù)中仿真建模是其中的重要環(huán)節(jié)，仿真效果在很大程度上都取決于仿真建模。因而我們必須要高度重視動態(tài)系統(tǒng)的計算機(jī)仿真建模。筆者認(rèn)為計算機(jī)的仿真建模類型與計算機(jī)的類型有很大的關(guān)系，計算機(jī)的類型不同動態(tài)計算機(jī)仿真類型也不同。當(dāng)前動態(tài)系統(tǒng)的計算機(jī)仿真建?；旧峡梢苑譃閿?shù)字機(jī)仿真，模擬機(jī)仿真和模擬――數(shù)字仿真三大類型。筆者認(rèn)為電源動態(tài)系統(tǒng)的計算機(jī)仿陣基本上可以分為三個基本步驟：建模，模型實(shí)現(xiàn)與模型實(shí)驗。仿真實(shí)際上也是包括三個元素：模型，系統(tǒng)和計算機(jī)。本文將重點(diǎn)分析動態(tài)計算機(jī)系統(tǒng)的仿真建模。

1 仿真建模的基本步驟

動態(tài)系統(tǒng)的計算機(jī)電源仿真建?；旧峡梢苑譃橐韵滤膫€步驟：一是分析系統(tǒng)；二是設(shè)計模型；三是模型實(shí)現(xiàn)；四是仿真實(shí)驗。接下來筆者就來詳細(xì)分析這四個步驟、。

1.1 分析系統(tǒng)。所謂分析系統(tǒng)主要是要明確仿真對象，要確定對象的系統(tǒng)邊界，目標(biāo)函數(shù)以及控制參量。對于那些復(fù)雜系統(tǒng)而言我們除了要了解上文中的基本內(nèi)容外，還要對系統(tǒng)內(nèi)部的層次關(guān)系，子系統(tǒng)之間的關(guān)系，子系統(tǒng)對上級系統(tǒng)之間的關(guān)系。筆者認(rèn)為明確這些關(guān)系是進(jìn)行設(shè)計的前提。系統(tǒng)分析是一項非常重要的步驟，科學(xué)分析系統(tǒng)是實(shí)現(xiàn)基本步驟的前提，筆者認(rèn)為在設(shè)計過程中必須要認(rèn)真分析系統(tǒng)。

1.2 設(shè)計模型。在詳細(xì)分析了系統(tǒng)后接下來的工作就是要設(shè)計模型。在設(shè)計模型的時候，筆者認(rèn)為首先必須要明確系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息和能量交換關(guān)系。明確這一關(guān)系是設(shè)計的前提。因而設(shè)計過程中必須要明確兩者之間的關(guān)系。而后就是要進(jìn)行轉(zhuǎn)換把數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的用計算機(jī)語言或者是電路表示的仿真模型。在模型設(shè)計過程中必須要對仿真時間步長和特殊系數(shù)發(fā)生器的計算方法保持高度重視，在設(shè)計過程中要結(jié)合系統(tǒng)自身的特點(diǎn)來確定仿真時間步長和計算方法。設(shè)計模型是系統(tǒng)模型設(shè)計的關(guān)鍵性步驟，對于計算機(jī)仿真具有全局性影響，我們必須要高度重視模型設(shè)計。

1.3 模型實(shí)現(xiàn)。在完成了科學(xué)設(shè)計之后，接下來的工作就是模型實(shí)現(xiàn)了。在這一階段設(shè)計人員可以根據(jù)仿真數(shù)學(xué)模型研制出相對應(yīng)的數(shù)據(jù)處理軟件或者是模型電路。動態(tài)計算機(jī)的仿真建模最終是要靠模型來實(shí)現(xiàn)的，科學(xué)研制仿真數(shù)學(xué)模型具有重要意義。

1.4 仿真實(shí)驗。在完成建模之后，最后還要進(jìn)行仿真實(shí)驗以確定模型效果。所謂仿真實(shí)驗主要指的是在計算機(jī)上運(yùn)行數(shù)據(jù)處理軟件或者是對模擬電路加電，而后觀察數(shù)字計算結(jié)果或者電壓電頻變化曲線。在實(shí)驗過程中我們必須要研究對象自身的特點(diǎn)來確定具體的實(shí)驗方案，仿真實(shí)驗基本上又可以分為確定具體方案，啟動仿真，輸出信息等步驟。仿真實(shí)驗的主要目的是通過對輸出信息的觀察來與實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行比較，最終進(jìn)行改進(jìn)和完善。

2 仿真建模

模型分析法是計算機(jī)仿真的主要方法。模型分析法主要是通過對實(shí)際系統(tǒng)的抽象分析構(gòu)造出一個數(shù)據(jù)模型而后利用這個數(shù)據(jù)模型與實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行對比分析。在模型分析中最關(guān)鍵的步驟就是建立一個能夠反映出實(shí)際系統(tǒng)關(guān)鍵特征的模型。對于復(fù)雜系統(tǒng)而言基本上又可以分為建立結(jié)構(gòu)關(guān)系模型，性能分析，評估三個階段。

仿真系統(tǒng)模型的分類根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)的不同可以分為多個種類。具體而言，仿真系統(tǒng)模型根據(jù)表示方法可以分為數(shù)學(xué)模型和物理模型兩大類，計算機(jī)仿真主要采用的是數(shù)學(xué)模型。根據(jù)時間關(guān)系可以把系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型分為連續(xù)時間動態(tài)模型，離散時間動態(tài)模型，靜態(tài)模型，混合時間動態(tài)模型。根據(jù)系統(tǒng)變化方式進(jìn)行分類，則可以分為離散事件系統(tǒng)變化模型和連續(xù)變量系統(tǒng)模型。下面筆者就以連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)為例來詳細(xì)探討如何進(jìn)行仿真建模。

2.1 連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)的仿真建模。所謂連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)主要指的狀態(tài)連續(xù)變化，而驅(qū)動方式為時間驅(qū)動的物理系統(tǒng)。連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)本身根據(jù)時間取值方法和取值域又可以分為離散時間動態(tài)系統(tǒng)，連續(xù)時間動態(tài)系統(tǒng)，連續(xù)――離散實(shí)踐混合的動態(tài)系統(tǒng)。

在構(gòu)建模型的方法中針對連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)的描述的方法有很多，其中最常見的方式是系統(tǒng)動力學(xué)模型，回歸模型，差分方程模型，常/偏微分方程模型。在這幾種模型中微分方程中微分方程模型應(yīng)用最為廣泛。下面筆者就以微分方程模型來進(jìn)行分析。

在連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)中我們可以把系統(tǒng)輸入設(shè)為{u（t）}，而系統(tǒng)輸出則設(shè)為{y（t）}。此時應(yīng)用較多的高階微分方程模型則是：

當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)輸入信息{ ε（t）}的時候，此時隨機(jī)微分方程則是：

該模型在系統(tǒng)中應(yīng)用十分廣泛。模型（1）（2）是研究連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的有效手段。下面筆者就阿里詳細(xì)介紹以上兩種模型如何轉(zhuǎn)化問計算機(jī)仿真模型。上文中的兩種模型都是高階微分，針對高階微分我們很難直接轉(zhuǎn)換成仿真模型，此時我們就需要采用化歸的辦法，把模型轉(zhuǎn)化成一階積分的形式來進(jìn)行仿真。對于這兩個模型我們主要有三種方式來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，一種方式是模型轉(zhuǎn)換法，另一種方式就是離散相似法，最后一種方式是變換操作域法。下面筆者就來詳細(xì)論述這三種轉(zhuǎn)換方法。先來看第一種模型轉(zhuǎn)換法，采用模型轉(zhuǎn)換法我們主要針對模型（1）（2）采取以下步驟：

通過以上步驟我們就可以把模型（1）轉(zhuǎn)化成：

而模型（2）則可以轉(zhuǎn)化為：

通過以上分析我們就會發(fā)現(xiàn)，數(shù)值積分是連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)仿真的有效算法，因而它在連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛。在設(shè)計過程中我們必須要加強(qiáng)對數(shù)值積分法的研究。數(shù)值積分法具有論述詳細(xì)和實(shí)用算法多的特點(diǎn)，我們在應(yīng)用過程中必須要結(jié)合系統(tǒng)計算機(jī)的的特點(diǎn)來選擇算法

在分析了模型轉(zhuǎn)換法之后，接下來筆者就來詳細(xì)論述離散相似法。所謂離散相似法主要指的是通過對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)采用離散方式來進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在計算機(jī)運(yùn)行過程中，通常意義上它們不具備處理連續(xù)數(shù)據(jù)的能力，此時就需要采用離散相似法的形式來進(jìn)行分析。所謂離散相似法主要指的是對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，以便于求的離散模型，最終以離散相似模型作為仿真模型來實(shí)現(xiàn)對實(shí)際系統(tǒng)的分析。結(jié)合上文的兩個模型而言就是要設(shè)置采樣開關(guān)以及信號重構(gòu)器來實(shí)現(xiàn)。信號重構(gòu)器應(yīng)該具備適當(dāng)?shù)碾A次。筆者結(jié)合大量的理論研究以及實(shí)踐證明，離散相似法在實(shí)際系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換中能夠起到良好的效果。采用這一技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)對模型的有效轉(zhuǎn)換。在實(shí)際系統(tǒng)中有一項技術(shù)非常重要，這就是Kalman 遞推估計技術(shù)。采用仿真方法可以實(shí)現(xiàn)對Kalman 濾波的精確分析，對各種擾動的靈敏度能夠進(jìn)行精確的定量分析。離散相似法的應(yīng)用能夠為Kalman 濾波算法提供有效的技術(shù)支持。

在對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行仿真的時候，有時仿真的目的并不是為了研究系統(tǒng)的輸出值，而是要研究實(shí)際系統(tǒng)的性能，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性，操作性，可靠性等指標(biāo)。在這種情況下我們主要采用變換操作域的方法來進(jìn)行分析。所謂變換操作域主要指的是在設(shè)計過程中要盡量選擇S域和Z域來進(jìn)行分析。具體而言就是要：

對上文中的方程式4進(jìn)行Laplace變換，此時就可得出以下公式：

該公式就可以稱作系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。上文中主要是采用L變換。我們采用Z變換技術(shù)同樣可以得到類似要求，我們在設(shè)計過程中必須要結(jié)合系統(tǒng)自身的特點(diǎn)來選擇一種較為方便的方法來進(jìn)行處理。無論是L變換還是Z變換，在模型轉(zhuǎn)換中都起到了非常方便的作用。我們要加強(qiáng)對著兩種變換技術(shù)的研究。此外除了要注重這兩種變換之外，我們還要對重構(gòu)器的設(shè)置保持高度重視。重構(gòu)器的設(shè)置在變換域操作中有著重要意義。

重構(gòu)器設(shè)置，可以從零階信號重構(gòu)器，一階線性重構(gòu)器以及三角形信號重構(gòu)器，這三種重合器的脈沖傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。在連續(xù)信號離散化過程中信息不可避免的會產(chǎn)生損失，這就會導(dǎo)致離散化采樣后的數(shù)據(jù)處理同離散化處理之前的信號之間是有誤差的。在變換域操作過程別是在S域與Z域變換中，通過引入校正器可以有效解決這個誤差問題。在變換過程中通過調(diào)整校正器傳遞函數(shù)可以使得離散后的模型接近系統(tǒng)原型。針對系統(tǒng)校正，一般意義上有兩種方式，離散校正和連續(xù)校正。

以上三種方法就是對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的三種方法，我們在實(shí)際操作過程中必須要結(jié)合建模的目的和連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)本身的性能來選擇轉(zhuǎn)換方法。在這三種方法中，筆者認(rèn)為變換域操作法可以起到減小誤差，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的。

2.2 高階系統(tǒng)的簡化方法。在計算機(jī)電源仿真中，系統(tǒng)在運(yùn)用微分方程來轉(zhuǎn)換過程中經(jīng)常會遇到高階次的問題。高階次微分方程的出現(xiàn)給系統(tǒng)建模帶來不小難度，因而我們必須要采用科學(xué)的簡化方法來簡化高階微分方程。筆者認(rèn)為當(dāng)前高階微分方程的簡化方式有以下兩種：一種是頻率域簡化法；另外一種是時域簡化法。下面筆者就來詳細(xì)介紹這兩種方法。

頻率域法本身又可以分為Pade法，連分式法以及混合法。時域簡化法則主要可以分為攝動法和系統(tǒng)集結(jié)法。攝動法主要對整個系統(tǒng)進(jìn)行解耦處理，解耦處理的最終目的是要把高階模型分為多個低維模型。攝動法本身又可以分為強(qiáng)耦合關(guān)系的非奇異攝動法和弱耦合關(guān)系的奇異攝動法。

3 離散事件動態(tài)系統(tǒng)的建模

所謂離散事件動態(tài)系統(tǒng)主要指的是系統(tǒng)狀態(tài)跳躍式變化，系統(tǒng)狀態(tài)遷移主要發(fā)生在離散時間點(diǎn)上的動態(tài)系統(tǒng)，與連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)不同離散事件動態(tài)系統(tǒng)的驅(qū)動方式是事件驅(qū)動。離散事件系統(tǒng)大部分都是人造系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的微分方程方法很難起到作用。因而我們必須要選擇水平更高的方式來進(jìn)行設(shè)計。筆者認(rèn)為當(dāng)前針對離散事件動態(tài)系統(tǒng)的建模方式基本上可以分為三類：一類是Petri網(wǎng)絡(luò)模型。二是排隊論模型；三是自動機(jī)模型。接下來，筆者就來詳細(xì)分析這三種形式。

3.1 Petri網(wǎng)絡(luò)模型。Petri網(wǎng)絡(luò)模型是離散事件動態(tài)系統(tǒng)計算機(jī)仿真建模過程中應(yīng)用最廣泛的模型。我們說它的應(yīng)用范圍廣，筆者認(rèn)為主要體現(xiàn)在兩個方面：一是它既可以用于不帶時標(biāo)的仿真模型中，又可以運(yùn)用在帶時標(biāo)的模型中。二是它既可以用于確定性的仿真模型，又可以用于具備邏輯性的定性建模中。Petri網(wǎng)絡(luò)模型具有眾多優(yōu)點(diǎn)，具體而言有以下幾個優(yōu)點(diǎn)：一是具有形式簡潔，直觀的特點(diǎn)，因而適用于系統(tǒng)組織；二是能夠?qū)崿F(xiàn)對異步并發(fā)系統(tǒng)的有效模擬，對模型實(shí)體的有效分析；三是能夠在不同級別上表示出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

近些年來，隨著計算機(jī)電源仿真技術(shù)的發(fā)展，Petri網(wǎng)絡(luò)方法獲得了迅猛發(fā)展，該模型在實(shí)際應(yīng)用中的效果也越來越顯著。在幾十年的發(fā)展中逐漸研究出了定隨機(jī)Petri 網(wǎng)（ DSPN） ，有色Petri 網(wǎng)，隨機(jī)Petri 網(wǎng)（ SPN） ，帶有禁止弧的計時變遷Petri 網(wǎng)等各中擴(kuò)展類模型。

第6篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

【關(guān)鍵詞】微分方程數(shù)值解；初探；教學(xué)模式；教學(xué)實(shí)踐

0 引言

微分方程數(shù)值解是我院信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課，與數(shù)值分析等課程一起構(gòu)成信計專業(yè)的核心課程體系，該課程在信計類專業(yè)培養(yǎng)方案中占有極其重要的地位。作為傳統(tǒng)的專業(yè)課，該課程不但具有較強(qiáng)的實(shí)際意義和實(shí)際背景、而且邏輯性也非常強(qiáng)，并且該課程還對科學(xué)計算進(jìn)行了著重研究。 這就要求我們在微分方程數(shù)值解的教學(xué)中不但要使學(xué)生學(xué)習(xí)如何熟練地掌握微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)知識和基本理論，而且還要使學(xué)生學(xué)習(xí)如何獲得進(jìn)行基礎(chǔ)的科學(xué)研究和解決一些實(shí)際問題的能力。為此， 針對我院應(yīng)用型人才培養(yǎng)的定位，結(jié)合微分方程數(shù)值解課程自身的特點(diǎn)。在構(gòu)建適合本專業(yè)的課程體系和教學(xué)內(nèi)容的安排中，其一，我們將課程的理論教學(xué)內(nèi)容和課程的實(shí)驗教學(xué)內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來，兩者并重。其二，在教學(xué)中重視數(shù)值計算在實(shí)際問題中的應(yīng)用，著重強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際。其三， 在平時的教學(xué)工作中逐步將多元化的教學(xué)模式和教學(xué)方法融入課堂中以打破傳統(tǒng)教育教學(xué)模式。通過多年在教學(xué)工作中的探索和實(shí)踐， 逐漸使我院微分方程數(shù)值解課程的教學(xué)形成了自己的課程內(nèi)容和教學(xué)體系，取得了良好的教學(xué)效果。同時也為我院培養(yǎng)應(yīng)用型高素質(zhì)創(chuàng)新人才奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)和良好的保證。

1 明確教學(xué)定位、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事件、物體和現(xiàn)象運(yùn)動、演化和變換規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。微分方程數(shù)值解是解決“計算”為題的橋梁和工具，是利用計算機(jī)研究并解決實(shí)際問題的數(shù)值近似解。它既有理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有適用性和實(shí)驗性的技術(shù)特征。因此，微分方程數(shù)值解已應(yīng)用到科學(xué)技術(shù)和社會生活的各個領(lǐng)域中。根據(jù)教育部課程教學(xué)指導(dǎo)委員會頒發(fā)的信息與計算科學(xué)專業(yè)規(guī)范對微分方程數(shù)值解課程的基本要求和我院主要是培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型人才的實(shí)際情況[3]，我們的教材采用的是由胡健偉、湯懷民編著《微分方程數(shù)值方法》。我們通過合理選取理論體系適當(dāng)降低課程內(nèi)容的理論難度，微分方程數(shù)值解課程講授的內(nèi)容主要為常微分方程的數(shù)值解法、偏微分方程的差分方法和偏微分方程的有限元方法[4]。其中偏微分方程的差分方法是課程教學(xué)的重點(diǎn)。在保證課程內(nèi)容科學(xué)性的前提下對課程內(nèi)容作了部分處理，安排由簡單到復(fù)雜的內(nèi)容次序以及簡捷、直觀的理論體系。課程始終貫以連續(xù)問題離散化的基本思想，力求達(dá)到與相關(guān)學(xué)科的相互滲透與利用[3]。例如：在講常微分方程初值問題的數(shù)值方法時，由簡到難，從簡單的一階顯示的Euler單步方法的構(gòu)造和概念，再推進(jìn)到隱式Euler方法和梯形法，最后再講述較為復(fù)雜的單步高階Runge-Kutta方法以及線性多步方法等的基本概念和理論，最后討論高階常微分方程的數(shù)值解法[4]。再如，考慮到有限元法是個比較難的知識點(diǎn)，安排教學(xué)內(nèi)容的時候把學(xué)生較為容易理解和掌握的有限差分法知識點(diǎn)放在前面講。使學(xué)生有一個從易到難的認(rèn)知過程，這樣安排，教學(xué)內(nèi)容組織條理清晰，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中變得更加積極主動，有助于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解得基本理論和基本方法。實(shí)踐證明這類教學(xué)內(nèi)容的改動產(chǎn)生了很好的教學(xué)效果。

2 改革教學(xué)方法，創(chuàng)新教學(xué)模式

微分方程數(shù)值解課程不但理論性非常強(qiáng)，公式推導(dǎo)也非?？菰锖蜔┈?，并且計算量也特別大，為了避免教學(xué)過程中“教師教，學(xué)生學(xué)”的“滿堂灌”的教學(xué)方法。因此，在教學(xué)過程中改革教學(xué)方法，創(chuàng)新教學(xué)模式顯得尤為重要。

2.1 采用啟發(fā)式教學(xué)方法

在教學(xué)過程中無論是基本理論、基本概念和思想方法的講解，還是實(shí)際問題的引入，均采用啟發(fā)式的“教師教學(xué)生學(xué)習(xí)”的教學(xué)方法。首先通過老師與學(xué)生之間充分的交流和互動，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到教學(xué)過程中， 調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。然后再由教師分析計算過程，推導(dǎo)出計算結(jié)果，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。最后再鼓勵學(xué)生積極參與題后分析與討論，從而切實(shí)提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的理論知識來解決一些實(shí)際問題的能力。

2.2 將多元化的教學(xué)模式融入課堂教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)模式優(yōu)勢互補(bǔ)

多元化教學(xué)模式是一種以學(xué)生為中心的融合的教學(xué)策略模式。在課堂教學(xué)中采用多元化的教學(xué)模式，將多媒體教學(xué)設(shè)備和Matlab等數(shù)學(xué)軟件引進(jìn)課堂教學(xué)，與傳統(tǒng)教學(xué)模式有機(jī)的融合起來，采用“課件+板書+動態(tài)演示”的課堂教學(xué)模式，充分發(fā)揮著兩種教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)，從而使立體化的信息在實(shí)際教學(xué)過程中得到充分的展現(xiàn)和應(yīng)用。在多元化教學(xué)模式和傳統(tǒng)教學(xué)模式這兩種教學(xué)手段的交互使用中，構(gòu)建新型教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力以及自我更新知識的能力。實(shí)踐證明，通過這兩種教學(xué)模式的優(yōu)勢互補(bǔ)在教學(xué)中取得了不錯的成績。

2.3 將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程教學(xué)

數(shù)學(xué)建模思想是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實(shí)問題的一種數(shù)學(xué)思維形式。對微分方程數(shù)值解的討論，從實(shí)際背景和實(shí)際意義入手，研究實(shí)際課題抽象、提煉數(shù)學(xué)模型的思想、激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而找出各個知識點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，使微分方程數(shù)值解課程與現(xiàn)實(shí)問題有機(jī)的結(jié)合起來[3]。讓學(xué)生在實(shí)際問題的求解過程中體驗數(shù)學(xué)的魅力所在，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性和興趣。微分方程數(shù)值解教學(xué)將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識和能力作為重要的教學(xué)目標(biāo)，將數(shù)學(xué)建模思想融入日常的教學(xué)過程中就能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，提高學(xué)生“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的應(yīng)用意識能力。

第7篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

關(guān)鍵詞：高等職業(yè)教育　數(shù)學(xué)教育　數(shù)學(xué)建模

一、前言

隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大，不但運(yùn)用于自然科學(xué)各學(xué)科、各領(lǐng)域，而且滲透到了經(jīng)濟(jì)、軍事、管理以至于社會科學(xué)和社會活動的各領(lǐng)域。但是，社會對數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才，更大量的是需要在各部門中從事實(shí)際工作的人善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問題，取得經(jīng)濟(jì)效益和社會效益。他們不是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識而尋找實(shí)際問題（就像在學(xué)校里做數(shù)學(xué)應(yīng)用題），而是為了解決實(shí)際問題而需要用到數(shù)學(xué)。對復(fù)雜的實(shí)際問題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語言來描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個實(shí)際問題化成一個數(shù)學(xué)問題，這就稱為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的這個過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的過程，也是我們的學(xué)生在走上工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知識和解數(shù)學(xué)題的能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會對具有這種能力的人的需求，比對數(shù)學(xué)專門人才的需求要多得多。特別地，高等職業(yè)教育的培養(yǎng)目標(biāo)是為生產(chǎn)、服務(wù)和管理第一線培養(yǎng)實(shí)用型人才，根據(jù)這個目標(biāo)，高職數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)以突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性為主。高職數(shù)學(xué)課程的一個重要任務(wù)，就是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)原理和方法解決實(shí)際問題的能力。在高職院校中開展數(shù)學(xué)建?；顒拥某霭l(fā)點(diǎn)就在于培養(yǎng)高職學(xué)生使用數(shù)學(xué)工具、結(jié)合專業(yè)知識、運(yùn)用計算機(jī)等解決實(shí)際問題的意識和能力。

二、高等職業(yè)教育對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想方法訓(xùn)練的途徑 在高等職業(yè)教育階段對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想方法的訓(xùn)練有兩種途徑：第一是開設(shè)數(shù)學(xué)建模課，這個途徑受到時間的限制，對于高等職業(yè)教育更是如此，由于學(xué)制短，分配給數(shù)學(xué)課程的課時數(shù)較少，這對于我們要做的事情來說是非常不夠的；第二個途徑就是將數(shù)學(xué)建模的思想和方法有機(jī)地貫穿到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中去，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時，初步獲得數(shù)學(xué)建模的知識和技能，為他們?nèi)蘸笥盟鶎W(xué)的知識解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，是一種非常適合我國高等職業(yè)教育實(shí)際的一種教育方法。

三、在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想方法的實(shí)踐初探

1、在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法

高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是數(shù)學(xué)模型，但在教學(xué)中也要選擇更現(xiàn)實(shí)、更具體、與自然科學(xué)或社會科學(xué)等領(lǐng)域關(guān)系直接，同時有重大意義的模型與問題，這樣的題材能夠更有說服力地揭示數(shù)學(xué)問題的起源和數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的相互作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)的不斷發(fā)展，激發(fā)學(xué)生參與探索的興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

要重視高等數(shù)學(xué)中每一個概念的建立，數(shù)學(xué)本身就是研究和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，每引入一個新概念或開始一個新內(nèi)容，都應(yīng)有一個刺激學(xué)生學(xué)習(xí)欲的實(shí)例，說明該內(nèi)容的應(yīng)用性。在每一章節(jié)結(jié)束時，可列舉與本章內(nèi)容相聯(lián)系的，與生產(chǎn)、生活實(shí)際和所學(xué)專業(yè)結(jié)合緊密的應(yīng)用實(shí)例，這樣在講授知識的同時，可讓學(xué)生充分體會到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程也是數(shù)學(xué)建模的過程。

（1）重視函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

建立函數(shù)模型在數(shù)學(xué)建模中非常重要，因為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的許多例子首先都是建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

在這一章中要重點(diǎn)介紹建立函數(shù)模型的一般方法，掌握現(xiàn)實(shí)問題中較為常用的函數(shù)模型。

（2）重視導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線在某點(diǎn)的曲率在解決實(shí)際問題中很有意義。在講到這些章節(jié)時，適當(dāng)向數(shù)學(xué)建模的題目引申，可以收到事半功倍的效果。例如，導(dǎo)數(shù)的概念可以從變速直線運(yùn)動的瞬時速度、交流電的電流強(qiáng)度等實(shí)際問題抽象出來。導(dǎo)數(shù)的意義是函數(shù)相對于自變量的瞬時變化率，以此為依據(jù)，所有有關(guān)變化率的實(shí)際問題都可用導(dǎo)數(shù)模型解決，這也是利用微分方程建立模型的基礎(chǔ)。傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的建立，就用到了導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義（函數(shù)的變化率）；經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性分析、征稅問題的例子都要用到導(dǎo)數(shù)。總之，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一章中，適當(dāng)多講一些實(shí)際問題，能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的積極性。

（3）重視定積分的應(yīng)用

定積分在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用廣泛，因此，在定積分的應(yīng)用一章中，微元法以及定積分在幾何物理上的應(yīng)用都要重點(diǎn)講授，并應(yīng)盡可能講一些數(shù)學(xué)建模的片段，要巧妙地應(yīng)用微元法建立積分式。積分的概念可以從曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程等實(shí)際問題中抽象出來。積分的基本思想是“局部以直代曲取近似，無限分割求和的極限”，利用定積分解決問題的關(guān)鍵是求微元。利用定積分模型可以解決變力作功、不均勻細(xì)棒的質(zhì)量、交通信號燈時間設(shè)置、商品存儲費(fèi)用優(yōu)化等實(shí)際問題。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、公式、定理，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家研究創(chuàng)造時的思考過程，不僅有助于學(xué)生理解知識的本質(zhì)意義，而且可以徹底改變學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)無用的錯誤認(rèn)識。

（4） 重視二元函數(shù)極值與最值問題的應(yīng)用

求二元函數(shù)的極值與條件極值，拉格朗日乘數(shù)法，以及最小二乘法，在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)過程中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生用上述工具解決實(shí)際問題的能力。利用偏導(dǎo)數(shù)可以對經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多問題作定性和定量分析。例如，經(jīng)濟(jì)分析中的邊際分析、彈性分析，經(jīng)濟(jì)函數(shù)優(yōu)化問題中的成本固定時產(chǎn)出最大化、產(chǎn)出一定時成本最小化等，都可以用偏導(dǎo)數(shù)來討論。

（5）重視常微分方程的講授，建立常微分方程的應(yīng)用

解常微分方程是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的有力工具。為此，在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，要用更多的時間講解如何在實(shí)際問題中提煉微分方程，并且求解。

2、數(shù)學(xué)建模應(yīng)與專業(yè)緊密聯(lián)系，發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對專業(yè)的服務(wù)作用

用專業(yè)知識作為背景，加工成數(shù)學(xué)模型，可使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)在專業(yè)中的地位。這樣既加深了對專業(yè)知識的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣。通過對一些以專業(yè)為背景、學(xué)生有能力嘗試的問題的研究，把專業(yè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，可以增加數(shù)學(xué)教學(xué)的目的性和凝聚力。對學(xué)生在建模過程中碰到的專業(yè)方面和數(shù)學(xué)方面的困難，教師要鼓勵學(xué)生通過請教教師和查資料及時將要用到的知識補(bǔ)上。在強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望下，人的潛能是最容易被激發(fā)出來的。

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第8篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

關(guān)鍵詞：中國；法國；數(shù)學(xué)教育；差異

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1002-2589（2013）32-0269-02

數(shù)學(xué)在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數(shù)學(xué)教育有很多的不同，下面就中國和法國數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容的編排方式、知識的深度和廣度、教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系的程度，簡單談?wù)勚蟹▋蓢鴶?shù)學(xué)教育的幾點(diǎn)差異。

一、教學(xué)內(nèi)容的編排方式不同

法國數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容都是螺旋上升，循序漸進(jìn)的。例如，大學(xué)一年級會學(xué)數(shù)列的極限和函數(shù)的極限，不過這時只是學(xué)習(xí)數(shù)列極限的描述性定義、單調(diào)有界原理、常用極限和極限的運(yùn)算法則，以及函數(shù)極限的描述性定義、函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則、函數(shù)極限的判定與重要極限，直至大學(xué)二年級才會學(xué)習(xí)數(shù)列的極限和函數(shù)的極限的嚴(yán)格定義，也就是語言，以及極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系、函數(shù)極限的局部保號性、柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則。再比如，大學(xué)一年級會學(xué)習(xí)不定積分與定積分，不過這時只是學(xué)習(xí)原函數(shù)與不定積分的定義、不定積分的性質(zhì)、基本積分表，以及定積分的描述性定義、定積分的基本性質(zhì)、關(guān)于積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、定積分的計算，直至高年級才會學(xué)習(xí)不定積分的換元積分法（第一類換元法、第二類換元法）、分部積分法、幾種特殊類型函數(shù)的積分（有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、簡單無理函數(shù)的積分），以及定積分的介值定理、中值定理、廣義積分（無窮限的廣義積分、無界函數(shù)的廣義積分、無窮限的廣義積分的審斂法、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法）、定積分的應(yīng)用[定積分的元素法、平面圖形的面積、體積（旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體的體積]。變力沿直線所做的功、水壓力、引力、函數(shù)的平均值、均方根）。還比如，大學(xué)一年級會學(xué)一階線性微分方程解集的構(gòu)成與疊加原理、相應(yīng)齊次方程的解、常數(shù)變易法、初值問題的解：存在性與唯一性，以及二階線性常系數(shù)微分方程的定義與解集的構(gòu)成、相應(yīng)齊次方程的解、第二項為指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)之積時特解的尋求、常數(shù)變易法、初值問題：解的存在性與唯一性，而直至高年級才會學(xué)習(xí)可化為齊次的方程、伯努利方程、可降階的高階微分方程、微分方程的冪級數(shù)解法、全微分方程、積分因子、常微分方程組、二維自治系統(tǒng)與相平面、平面奇點(diǎn)、極限環(huán)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法。另外，大學(xué)一年級會學(xué)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、復(fù)數(shù)的模與幅角的定義、復(fù)數(shù)的模與幅角的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)指數(shù)函數(shù)、復(fù)數(shù)的次根，直至高年級才會學(xué)習(xí)解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、初等函數(shù)、復(fù)積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)、泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)、孤立奇點(diǎn)、留數(shù)、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射。幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨(dú)立的個體，而是不同知識相互聯(lián)系成一個整體。

而我國數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是呈線性的，同時內(nèi)容還是呈塊狀的，集中安排，像復(fù)變函數(shù)、常微分方程都是安排一門課在整個某一學(xué)期介紹，而極限、積分、導(dǎo)數(shù)等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容則安排在大學(xué)一年級上下兩個學(xué)期介紹，保證了知識完整的體系。

二、數(shù)學(xué)知識的深度和廣度不同

法國的大學(xué)數(shù)學(xué)教材選取了大量的近現(xiàn)代的教學(xué)內(nèi)容。例如，在大學(xué)一年級會介紹多項式和有理函數(shù)及其性質(zhì)、比較增長率、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲三角關(guān)系式、雙曲正切函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)、反雙曲余弦函數(shù)、反雙曲正切函數(shù)，而對于我國來說，這些內(nèi)容也有涉及，但在深度和廣度上都不如法國。再者，法國數(shù)學(xué)會在學(xué)復(fù)數(shù)時會介紹Newton公式和Bernoulli公式、形如的線性化、幺模群，而對于我國來說，這些內(nèi)容也有涉及只是略微淺顯。

法國數(shù)學(xué)一開始就使用大量的矩陣?yán)碚摵途€性空間知識，強(qiáng)迫學(xué)生以比較抽象的思維從比較高的視點(diǎn)看問題，摒棄中學(xué)思維中的部分陋習(xí)。而在我國，中國工科教材喜歡用標(biāo)量式。只考慮大小，忽略方向，甚至還出現(xiàn)過“略去方向不寫，只考慮大小”這樣的語句，盡量避免使用矢量式。比如，我國學(xué)生認(rèn)為柯西不等式是不顯然的，是一種技巧，是少數(shù)人的專利，有畏懼心理，更遑論Holder和Minkovski不等式。工科學(xué)生很多不知道柯西不等式。而法國教學(xué)大綱是按照高屋建瓴的線性空間思維建立的，無論柯西，Holder還是Minkovski不等式，根本就是“三角形兩邊之和大于第三邊”那樣顯然直觀。

三、教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系的程度不同

數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，在教材中它總以完善的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，許多題目都是經(jīng)過數(shù)學(xué)處理的，具有科學(xué)性、系統(tǒng)性。文字表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、枯燥，但很少創(chuàng)設(shè)問題情境，忽略了數(shù)學(xué)知識從生活生產(chǎn)中被發(fā)現(xiàn)的曲折過程，抑制了學(xué)生思維的空間。心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生熟悉的生活背景越接近，學(xué)生自覺接納知識的程度越高。數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往感到枯燥，缺少積極性和主動性。從課程的開始就處于一種被動的接受地位，那么，利用學(xué)生身邊的實(shí)際事實(shí)為背景，結(jié)合生活實(shí)例引入教學(xué)就會使學(xué)生感到親切，從而以一種積極的心態(tài)投入到數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中去。數(shù)學(xué)的教學(xué)目的是讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和發(fā)展一般智力，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，樹立應(yīng)用意識，培養(yǎng)應(yīng)用能力。教學(xué)的目的不僅是為了考試、考學(xué)、考高分的需要，還要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓基礎(chǔ)知識與實(shí)際相結(jié)合。法國強(qiáng)調(diào)應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識解決自己在實(shí)踐中遇到的實(shí)際問題，在教學(xué)內(nèi)容中提出了大量與實(shí)際密切聯(lián)系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。在法國教學(xué)的聯(lián)系實(shí)際中，比較多的有學(xué)生的直接參與與社會的關(guān)切。

我國以往對數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用關(guān)注不夠，數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用在我國也逐步受到重視，如組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等。素質(zhì)教育下的課堂教學(xué)，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。從學(xué)生的生活中提出問題，會讓學(xué)生感到問題的真實(shí)性和解決的必要性，從而對解決問題有一種渴望，以一種主動的態(tài)度進(jìn)入數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)。如教學(xué)長、正方形面積計算時，我拿了幾張照片發(fā)給每個小組，告訴大家這是我們聯(lián)歡會的照片，準(zhǔn)備舉辦一個展覽，為了保護(hù)照片要在照片上貼薄膜，你們知道需要買多少嗎？這時同學(xué)們興趣來了，紛紛想辦法，有的說用相片去比一比，有的說用尺子量一量等等，這樣學(xué)生熟悉的例子，解決它的主動性也就自然的產(chǎn)生了。

另外日常生活實(shí)踐中，包含著豐富的數(shù)學(xué)知識，如“自行車支架為什么是三角形的，正方形的行嗎？罐頭盒為什么是圓柱形的其他形狀行嗎？車輪為什么是圓形的，橢圓形、六邊形的可以嗎？”結(jié)合實(shí)際引入新課，促使學(xué)生在頭腦中積極思考，不僅達(dá)到了設(shè)疑引趣的目的，而且擴(kuò)展了知識面。

總之，數(shù)學(xué)在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數(shù)學(xué)教育有很多的不同，中國和法國數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容的編排方式、知識的深度和廣度、教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系的程度等方面都存在差異。

法國大學(xué)一年級會學(xué)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、復(fù)數(shù)的模與幅角的定義、復(fù)數(shù)的模與幅角的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)指數(shù)函數(shù)、復(fù)數(shù)的次根，直至高年級才會學(xué)習(xí)解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、初等函數(shù)、復(fù)積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)、泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)、孤立奇點(diǎn)、留數(shù)、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射、幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨(dú)立的個體，而是不同知識相互聯(lián)系成一個整體。我國數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是呈線性的，同時內(nèi)容還是呈塊狀的，集中安排，像復(fù)變函數(shù)、常微分方程都是安排一門課在整個某一學(xué)期介紹，而極限、積分、導(dǎo)數(shù)等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容則安排在大學(xué)一年級上下兩個學(xué)期介紹，保證了知識完整的體系。

法國的大學(xué)數(shù)學(xué)教材選取了大量的近現(xiàn)代的教學(xué)內(nèi)容.例如，在大學(xué)一年級會介紹多項式和有理函數(shù)及其性質(zhì)、比較增長率、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲三角關(guān)系式、雙曲正切函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)、反雙曲余弦函數(shù)、反雙曲正切函數(shù)，而對于我國來說，這些內(nèi)容也有涉及，只是深度和廣度上都略顯不足。

法國強(qiáng)調(diào)應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識解決自己在實(shí)踐中遇到的實(shí)際問題，在教學(xué)內(nèi)容中提出了大量與實(shí)際密切聯(lián)系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。但數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用在我國也逐步受到重視，如組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等。借鑒中法不同教學(xué)的方式，取長補(bǔ)短，將對我國數(shù)學(xué)教學(xué)有非常大的幫助。

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第9篇：數(shù)學(xué)建模的微分方程方法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)實(shí)驗 實(shí)踐教學(xué)體系

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）11-0007-02

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽自1994年在全國范圍內(nèi)開展以來，其競賽規(guī)模逐年擴(kuò)大，影響力也日益增強(qiáng)，現(xiàn)已成為教育部支持的科技競賽之一。數(shù)學(xué)建模競賽的開展讓大家看到了數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的重要作用，同時也促使數(shù)學(xué)學(xué)科中產(chǎn)生了一個具有強(qiáng)大生命力的新分支——數(shù)學(xué)建模。為了更好地備戰(zhàn)數(shù)學(xué)建模競賽，高等院校紛紛開設(shè)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗等數(shù)學(xué)建模類課程，同時，隨著課程的開設(shè)也出現(xiàn)了一些問題：數(shù)學(xué)建模類課程如何教學(xué)才有顯著的教學(xué)效果，如何與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)類課程相結(jié)合以促進(jìn)工科數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革等。

數(shù)學(xué)建模類課程是指數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)實(shí)驗等相關(guān)實(shí)驗課程，它具有理論與實(shí)際相結(jié)合、知識覆蓋面廣、實(shí)踐性與探索性等特點(diǎn)，對于改變本科生對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“無用論”的看法，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的實(shí)踐動手能力和創(chuàng)新能力等有著積極的促進(jìn)作用。因此，對定位于應(yīng)用型本科院校的獨(dú)立學(xué)院來說數(shù)學(xué)建模更應(yīng)該得到推廣和發(fā)展，獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)建模類課程的探索與研究也顯得尤為重要。

一 當(dāng)前獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)建模類課程教學(xué)的回顧與現(xiàn)狀

自2008年我院正式派5隊學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽起，我院就開始將數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗作為選修課程在全院范圍內(nèi)開設(shè)，分別設(shè)置為24學(xué)時。數(shù)學(xué)建模課程以姜啟源版《數(shù)學(xué)模型》（高等教育出版社，2003年，第三版）作為參考教材，以講授初等模型為主，其目的是讓學(xué)生了解基本的建模方法、建模技巧，掌握一些具有共性的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)初步的理論聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)建模方法。數(shù)學(xué)實(shí)驗課程以姜啟源版《數(shù)學(xué)實(shí)驗》（高等教育出版社，2006年，第二版）為參考教材，重點(diǎn)介紹利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解及作圖，同時讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)實(shí)驗的方式、方法及作用，能夠初步使用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件Matlab、Lingo等。這兩門課程最初分在兩個學(xué)期（第三、四學(xué)期）開設(shè)的，后來在同一個學(xué)期（第四學(xué)期）同步開設(shè)。剛開始由于了解數(shù)學(xué)建模的學(xué)生不同，所以選修兩門課程的學(xué)生僅限于想?yún)①惖膶W(xué)生。隨著數(shù)學(xué)建模競賽獲獎及影響力的擴(kuò)大，越來越多的學(xué)生爭先恐后地選修這兩門課程。但由于數(shù)學(xué)建模授課仍采用“老師臺上講——學(xué)生臺下聽”的板書形式，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)沒什么不同，所以在授課過程中無法調(diào)動學(xué)生的積極性，部分學(xué)生出現(xiàn)缺課現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)厭學(xué)的情緒。針對這種狀況，我院數(shù)學(xué)教研室首先對數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)進(jìn)行了改進(jìn)嘗試，改變單純的板書形式，根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容與有限的課時制作多媒體課件，將其與板書相結(jié)合應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模課堂中，其中增加了建模題目涉及的背景問題詳細(xì)介紹、相關(guān)領(lǐng)域?qū)I(yè)知識的補(bǔ)充等，同時，針對實(shí)際問題展開以小組為單位的課堂自由討論，拉近師生之間的距離，激發(fā)學(xué)生積極思考問題，收到了良好的教學(xué)效果。其次，將高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容融入到數(shù)學(xué)實(shí)驗課程，利用數(shù)學(xué)軟件求解高等數(shù)學(xué)中繁雜的計算，讓學(xué)生體會到運(yùn)用軟件的便利，能夠解決學(xué)習(xí)中遇到的問題。雖然對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗課程教學(xué)改革取得了一些成效，但是數(shù)學(xué)建模理論化的教學(xué)和兩門課程分離教學(xué)的狀況使得很多學(xué)生仍有困擾，真正遇到數(shù)學(xué)建模題目后不知如何建模，建模后又不知如何利用軟件求解。

隨著我院對數(shù)學(xué)建模類課程教學(xué)改革的深入，從今年開始我院已將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗兩門課程合并進(jìn)行教學(xué)，設(shè)置為32學(xué)時，理論授課與上機(jī)實(shí)踐學(xué)時各占50%。在這門課上，教師將數(shù)學(xué)建模理論與數(shù)學(xué)軟件的使用聯(lián)合教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在對實(shí)際問題分析建立數(shù)學(xué)模型后直接利用數(shù)學(xué)軟件對所建模型進(jìn)行求解，使得學(xué)生形成對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的完整體系，這在一定程度上彌補(bǔ)了理論與上機(jī)實(shí)驗脫離的“兩開式”教學(xué)的缺陷。

二 獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)建模類課程教學(xué)的探索與研究

目前，我院已連續(xù)5年參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，獲全國二等獎3項，廣西區(qū)級獎19項，每年獲獎率居廣西區(qū)參賽獨(dú)立學(xué)院前列。我院能在數(shù)學(xué)建模競賽中取得良好的成績，一方面是得到了學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)的重視和各部門的大力支持，另一方面是我院在數(shù)學(xué)建模類課程教學(xué)方面進(jìn)行不懈的努力，積極探索適合獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)模式，提出了數(shù)學(xué)建模類課程實(shí)踐教學(xué)體系。

1.建立以數(shù)學(xué)建模理論課程為基礎(chǔ)的實(shí)踐教學(xué)體系

針對獨(dú)立學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的狀況以及數(shù)學(xué)建模課程自身的特點(diǎn)，獨(dú)立學(xué)院開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程不應(yīng)以追求高深的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)實(shí)世界的精確描述為目的，而是應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)與興趣，以注重培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)新知識的能力、分析和解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識、實(shí)踐意識以及創(chuàng)新意識，使學(xué)生的綜合素質(zhì)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動中得到全面地提高為目標(biāo)。為此，獨(dú)立學(xué)院應(yīng)建立以數(shù)學(xué)建模理論為基礎(chǔ)的實(shí)踐教學(xué)體系，具體做法如下：

第一，理論授課階段。每年的春季開學(xué)，數(shù)學(xué)建模課程以選修課的形式在全院范圍內(nèi)開設(shè)，以講授常用的數(shù)學(xué)模型、建模方法及數(shù)學(xué)軟件的使用為主，其中包括初等模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、回歸分析、數(shù)值分析、曲線擬合、 Matlab等。理論授課基本采用“教師講、學(xué)生聽”、課件與板書結(jié)合的教學(xué)模式，軟件使用還增加學(xué)生“邊學(xué)邊練”的環(huán)節(jié)，占課程總學(xué)時的2/3。通過數(shù)學(xué)建模理論授課，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有初步的認(rèn)識，為后續(xù)數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展奠定了理論基礎(chǔ)。

第二，討論練習(xí)階段。在已有數(shù)學(xué)建模知識的基礎(chǔ)上，將剩下1/3學(xué)時的數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程變成學(xué)生的活動過程。選取生活中的實(shí)例作為題目進(jìn)行練習(xí)，如學(xué)生會的選舉問題、公交車的調(diào)度、食堂打飯的排隊問題、課程的合理安排問題等。題目一般事先給出，方便學(xué)生在課下進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，搜集資料、數(shù)據(jù)，在課堂上以小組（三人為一組）為單位對題目進(jìn)行分析、討論，交流本小組所掌握的資料以及對題目求解的一些想法，同時老師參與其中，掌握課堂進(jìn)度，對爭執(zhí)不休的問題進(jìn)行評斷，對學(xué)生沒有注意的問題進(jìn)行提點(diǎn)等。課后學(xué)生以小組為單位整理課堂討論的結(jié)果，并給出一周的時間讓每組完成對實(shí)際問題的求解，最終以實(shí)驗報告的形式提交，同時每位學(xué)生提交每次練習(xí)的收獲、體會。

第三，滲透融合階段。除了選修數(shù)學(xué)建模課程和參加數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生外，大部分學(xué)生都不了解數(shù)學(xué)建模及其思想方法。因此，為了普及數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的思想方法應(yīng)滲透融合到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)過程中去，與基礎(chǔ)知識模塊進(jìn)行整合教學(xué)。例如在高等數(shù)學(xué)講“介值定理”時，可用“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”的數(shù)學(xué)建模問題作為例子介紹介值定理的應(yīng)用；在講微分方程部分時，可插入生物增長Malthus模型和Logistic模型、傳染病SI模型、SIS模型以及SIR模型等微分方程模型，并聯(lián)系2003年的競賽題目“SARS的傳播”建立傳染病模型為例進(jìn)行介紹。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的回歸分析部分，可引入數(shù)學(xué)實(shí)驗中“運(yùn)用回歸分析預(yù)測女子身高”的例子吸引學(xué)生的注意力。這樣通過教學(xué)內(nèi)容的整合，使大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的同時也了解了數(shù)學(xué)建模的思想，提高了數(shù)學(xué)建模的意識。

2.將數(shù)學(xué)實(shí)驗融入數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程，形成數(shù)學(xué)實(shí)驗分層次實(shí)踐教學(xué)體系

在實(shí)踐教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生選修了數(shù)學(xué)實(shí)驗課程，學(xué)習(xí)了Matlab、Lingo、Lindo等軟件的使用，但是真正需要用這些軟件求解問題時仍然不會，大多僅停留在聽說過Matlab、Lingo等數(shù)學(xué)軟件的層面上。對此，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗課程應(yīng)融入到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中，同時實(shí)施分層次教學(xué)，讓不同需求的學(xué)生掌握不同程度的數(shù)學(xué)實(shí)驗內(nèi)容，逐步形成獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)驗分層次實(shí)踐教學(xué)體系。

第一層次，針對大一學(xué)生，將數(shù)學(xué)實(shí)驗作為必修課，安排在諸如高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)中，即在每一章內(nèi)容后增加兩個學(xué)時的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生做一些簡單的高等數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)實(shí)驗，如求極限、求導(dǎo)函數(shù)、求原函數(shù)、做因式分解、解微分方程等，主要學(xué)會使用數(shù)學(xué)軟件Matlab和Mathematics。以所學(xué)知識為基礎(chǔ)進(jìn)行實(shí)驗?zāi)軒椭鷮W(xué)生理解一些抽象概念和理論，并運(yùn)用計算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解。這個教學(xué)環(huán)節(jié)可改變數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)模式，使教學(xué)方式變得生動靈活，同時學(xué)生從繁雜的計算中解脫出來，在學(xué)習(xí)過程中也會有更大的主動性。第二層次，針對大二、大三學(xué)生，將數(shù)學(xué)實(shí)驗作為選修課開設(shè)，一個實(shí)際問題構(gòu)成一個實(shí)驗內(nèi)容。對實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值求解和定量分析，進(jìn)一步完善和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這一層次主要是培養(yǎng)學(xué)生熟練使用計算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件的能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識和能力。第三層次，針對參加數(shù)學(xué)建模競賽和大四的學(xué)生，進(jìn)行專題性的數(shù)學(xué)實(shí)驗。掌握更多的專業(yè)計算軟件，如Lingo、Lindo、Origin、SAS、SPSS等。這樣，數(shù)學(xué)實(shí)驗通過分層次教學(xué)，使不同階段的學(xué)生不同程度地鍛煉了上機(jī)實(shí)際操作能力，更使得數(shù)學(xué)實(shí)驗在大學(xué)校園中得到廣泛地普及。

參考文獻(xiàn)

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