高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文精選(九篇)

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第1篇：高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文范文

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；課程有效性；課程實(shí)施方法

物理學(xué)的發(fā)展使得自然科學(xué)各個(gè)學(xué)科和領(lǐng)域的以突飛猛進(jìn)的熟讀得到發(fā)展物理學(xué)在20世紀(jì)以來更是站在了科學(xué)的前沿，推動(dòng)了新技術(shù)、新產(chǎn)業(yè)的進(jìn)步，深刻地影響著社會(huì)進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)發(fā)展?？梢哉f，物理學(xué)的發(fā)展是提高全民科學(xué)素質(zhì)教育的搖籃，首先，物理是理工科學(xué)生學(xué)好后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，例如信息工程系中的計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，要求學(xué)生有一定的電學(xué)知識(shí)，建筑工程系的土木工程要求學(xué)生有一定的力學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。其次，物理的學(xué)習(xí)過程會(huì)使學(xué)生掌握和學(xué)習(xí)科學(xué)的思維方法和研究方法，能夠進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力、開闊思路、激發(fā)他們探索和創(chuàng)新的精神，真正提高人才素質(zhì)[1]。

近年來，大學(xué)物理的基礎(chǔ)地位正面臨危機(jī)，教學(xué)時(shí)數(shù)逐漸減少，受重視的程度也在不斷降低。但物理學(xué)領(lǐng)域在高溫超導(dǎo)、納米技術(shù)等應(yīng)用領(lǐng)域取得了很大成就，人才向應(yīng)用領(lǐng)域轉(zhuǎn)移。因此，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，大學(xué)物理教學(xué)的主要任務(wù)是注重思維方法和科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，重視實(shí)踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的應(yīng)用型人才[2]。

課程是高校實(shí)施教學(xué)過程的主體工程，高校人才培養(yǎng)的質(zhì)量很大程度上取決于課程的有效性。課程是學(xué)生成長的養(yǎng)料，是實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)目標(biāo)的基礎(chǔ)性工程。課程的有效性程度決定了人才培養(yǎng)的質(zhì)量和人才培養(yǎng)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的程度。有效教學(xué)是一種現(xiàn)代教學(xué)理念，以學(xué)生發(fā)展為主旨，強(qiáng)調(diào)以科學(xué)理論為指導(dǎo)，關(guān)注教學(xué)的有效性，提倡教學(xué)方式的多樣化；同時(shí)，有效教學(xué)也是一種教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，必須以遵循教育教學(xué)規(guī)律為前提，以合乎教學(xué)目標(biāo)為實(shí)質(zhì)，以實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的統(tǒng)一為關(guān)鍵。

大學(xué)物理課程的有效性包括教學(xué)的有效性和教育的有效性，而教育的有效性是以教學(xué)的有效性為前提。教學(xué)的有效性是指通過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，學(xué)生進(jìn)步和成績是否達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo)，是否促進(jìn)了學(xué)生的知識(shí)、技能、態(tài)度的全面發(fā)展。要求教師有能力判斷學(xué)生是否達(dá)到這些要求，而現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、課時(shí)極度被壓縮，教學(xué)大綱基本沒有發(fā)生變化的情況下，需求一種有效的教學(xué)方式來適應(yīng)現(xiàn)在的物理教學(xué)。對(duì)于應(yīng)用型學(xué)院來說，高效低耗的課堂、有效的教學(xué)是十分必須的。高等院校也迫切需要改變這種教學(xué)低效的現(xiàn)狀，而爭取實(shí)施有效教學(xué)。提高課堂有效性的方法有多方面的，僅在一下幾方面加以討論：

一、在教學(xué)設(shè)計(jì)或?qū)嵤┑倪^程中注重能力或者素質(zhì)的訓(xùn)練與培養(yǎng)

大學(xué)物理以知識(shí)為載體，探索物理方法、啟迪物理思維、滲透物理思想、培養(yǎng)科學(xué)精神。物理學(xué)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)世界觀：時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)觀、完整的物質(zhì)世界圖像；科學(xué)的認(rèn)識(shí)論和方法論：清晰地物理思想、系統(tǒng)的物理思維方法；創(chuàng)新素質(zhì)能力：獨(dú)立思考、善于提問科學(xué)問題能力。創(chuàng)新思維能力：以基本物理思想為前提，利用猜想、類比、定性和定量的方法分析物理結(jié)果，分析判斷物理結(jié)果正確性的能力；將所學(xué)的物理知識(shí)應(yīng)用于其他學(xué)科及實(shí)際問題的能力，獨(dú)立地分析和解決物理問題的能力：概括物理現(xiàn)象、建立物理模型、抽象物理原理的能力[3]。

二、教師苦練教學(xué)基本功，深度挖掘教材

要突出教學(xué)重難點(diǎn)就要深度挖掘教材，深刻理解教材內(nèi)容。不僅要發(fā)掘教材中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在授課時(shí)做到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。還要發(fā)現(xiàn)不同教材的證明、推導(dǎo)和計(jì)算方法的區(qū)別。物理教師對(duì)這些問題有了深刻的認(rèn)識(shí)，在課堂上能夠引導(dǎo)學(xué)生，訓(xùn)練積極、發(fā)散的思維。每一個(gè)教師，上課前準(zhǔn)備愈充分，教的會(huì)愈好。充分的準(zhǔn)備還可以應(yīng)付學(xué)生即時(shí)的需要。

三、在保證完成基本教學(xué)要求同時(shí)，突出重點(diǎn)內(nèi)容

參照教育部高等學(xué)校非物理類專業(yè)物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)提出的《非物理類理工學(xué)科大學(xué)物理課程基本教學(xué)要求》[4]。每節(jié)物理課在標(biāo)題上就要突出本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)。同時(shí)教師要進(jìn)一步明確對(duì)于學(xué)生的知識(shí)、技能、態(tài)度目標(biāo)的要求，學(xué)生素質(zhì)提升的要求。針對(duì)重難點(diǎn)內(nèi)容有選擇性的進(jìn)行分解，使得大部分同學(xué)能夠聽懂本次課，或者至少有一部分內(nèi)容是懂了的。也可以利用網(wǎng)絡(luò)資源查找課上要用到的 生動(dòng)、有趣、與實(shí)際生活相關(guān)的圖片引出本節(jié)課內(nèi)容，所選圖片要包含本節(jié)課所講物理原理，能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、大學(xué)物理教學(xué)中融合高等數(shù)學(xué)知識(shí)

大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)關(guān)系密切，從常量到變量、從標(biāo)量到矢量，不少學(xué)生在第一次翻閱大學(xué)物理教材時(shí)，看到書中大量的高等數(shù)學(xué)符號(hào)，不由得對(duì)大學(xué)物理課程產(chǎn)生畏難心態(tài)[5]。大學(xué)物理最常見的思想是將載流導(dǎo)線、某一截面或位移分成無數(shù)多個(gè)無窮小的微元，從而等效達(dá)到已知的狀態(tài)”，其處理思想就是高等數(shù)學(xué)中的微分思想。凡是應(yīng)用微元思想后，其疊加過程皆離不開積分，如果說微分更大的作用在于提供一種思路，提供一種可行的解決問題的途徑，那么積分則是將思路轉(zhuǎn)化為結(jié)論，將過程推演出結(jié)果的手段。

五、增強(qiáng)學(xué)生的課堂注意力

提高課程導(dǎo)入的藝術(shù)性。用物理學(xué)的最新進(jìn)展與應(yīng)用吸引學(xué)生的注意力。運(yùn)用幽默的語言提高學(xué)生注意力。有效的課堂，師生的交流是必不可少的。課堂上的交流反映在教師的教和學(xué)生的學(xué)；課外交流可以是生活中的實(shí)際交流，也可以是不受時(shí)空限制的網(wǎng)絡(luò)交流。營造民主的教學(xué)作風(fēng)，和諧的課堂人際關(guān)系是加強(qiáng)師生課外交流的有效途徑[6]。

大學(xué)物理教學(xué)要在教育理念上富有時(shí)代特色，課程設(shè)置上要新穎、實(shí)用，緊密聯(lián)系就業(yè)市場的需求與專業(yè)特點(diǎn)[7]。物理學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)和帶頭學(xué)科，作為理工科專業(yè)的大學(xué)生，大學(xué)物理是其重要的公共基礎(chǔ)課程，它所闡述的基本概念、基本思想、基本規(guī)律和基本方法是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的理論、邏輯基礎(chǔ)；同時(shí)，它也是全面提高學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力的重要課程。為了有效提高大學(xué)物理課程的教學(xué)質(zhì)量，在大學(xué)物理教學(xué)過程中，我們要主動(dòng)轉(zhuǎn)變觀念，樹立正確的教學(xué)觀；認(rèn)識(shí)物理課程的階段性教學(xué)規(guī)律和教學(xué)特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生物理認(rèn)識(shí)能力的發(fā)展，不斷優(yōu)化教學(xué)，提高大學(xué)物理課程的教學(xué)效果[8]。

參考文獻(xiàn)：

[1]邊靜.地方工科院校大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容改革探索.山東師范大學(xué)碩士論文.

[2]朱小芹，唐煌.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下大學(xué)物理課程體系研究.江蘇技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào).2010，16（2），76-78.

[3]張晚云，陸彥文，曾交龍.提高大學(xué)物理課堂教學(xué)質(zhì)量的措施研究.高等教育研究學(xué)報(bào).2010，33（4），119-120.

[4]教育部高等學(xué)校非物理類專業(yè)物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì).非物理 類理工科大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)基本要求[M].北京：教育部物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).2010

[5]胡俊麗.劉興來.擴(kuò)招形勢(shì)下提高大學(xué)物理課堂教學(xué)質(zhì)量的舉措.物理與工程.2012，22（4），53-54.

[6]郭穎，潘峰.營造良好課堂氣氛，提高大學(xué)物理教學(xué)質(zhì)量.科技信息.416-418

第2篇：高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文范文

論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識(shí)；教師教育

一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的?！酥猓處熯€要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

二、教材分析研究

有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包(圖1)。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。

馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。

三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究

Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對(duì)的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動(dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。

Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。

四、啟示

1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。

2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。

3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識(shí)。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對(duì)退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識(shí)是教師教學(xué)的起點(diǎn)。以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn)自下而上的講授使知識(shí)加以擴(kuò)充，把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進(jìn)正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識(shí)。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的參與，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步精簡合理化知識(shí)；第四，課程知識(shí)。像馬力平的知識(shí)包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識(shí)點(diǎn)的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點(diǎn)的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論以及對(duì)特定學(xué)生最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機(jī)制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)一步的概念化。